已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域;
(Ⅱ)设α是第四象限的角,且tan=,求f()的值.
解 (Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z),
故f(x)的定义域为{|x|x≠kπ+,k∈Z}.
(Ⅱ)因为tanα=,且α是第四象限的角, 所以sinα=-,cosα=,
故f(α)= = = =.
已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
解法一:
(Ⅰ)由图象可知,在(-∝,1)上(x)>0,在(1,2)上(x)<0.
在(2,+∝)上 (x)>0.
故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增,在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x0=1.
(Ⅱ) (x)=3ax2+2bx+c,
由(1)=0, (2)=0, f(1)=5,
得 解得a=2,b=-9,c=12.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,
又(x)=3ax2+2bx+c, 所以a=,b=,c=2m
f(x)= 由f(l)=5, 即 得m=6.
所以a=2,b=-9,c=12.
ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)若二面角C1-BD-C的大小为60o,求异面直线BC1与AC所成角的大小.
解法一:
(Ⅰ)∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,∴CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC 又∵AC,CC1平面ACC1A1,
且AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ) 设BD与AC相交于O,连接C1O. ∵CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,
∴BD⊥C1O, ∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,
∴∠C1OC=60o. 连接A1B. ∵A1C1//AC, ∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角.
设BC=a,则∴异面直线BC1与AC所成角的大小为
解法二:
(Ⅰ)建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),
(Ⅱ)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为
某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率;
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.
解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.
(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A・B・)+P(・B・C)+P(A・・C)+P(A・B・C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27
=0.75.
(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A・B)+P(B・C)+ P(A・C)
=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)
=×1.29
=0.43
椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心,交椭圆C于A,B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
解法一:
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称.
所以
解得,
所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意)
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①-②得
③
因为A、B关于点M对称,
所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,
代入③得=,
即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.
(经检验,所求直线方程符合题意.)
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