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2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(北京卷.文)
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(北京卷.文)
高中
整体难度:中等
2009-03-16
题号
评分
一、计算题 (共6题)
添加该题型下试题
1.

已知函数f(x)=

()f(x)的定义域;

()设α是第四象限的角,且tan=,求f()的值.

难度:
知识点:三角函数
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【答案】

()cosx0xkπ+kZ),
     
f(x)的定义域为{|x|xkπ+,kZ.
    ()因为tanα=,α是第四象限的角,        所以sinα=-,cosα=,

f(α)= = = =.

2.

已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,如图所示.求:

(Ⅰ)的值;

(Ⅱ)的值.

难度:
知识点:导数及其应用
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【答案】

解法一:

()由图象可知,在(-,1)(x)0,(1,2)(x)0.
(2,+) (x)0.

f(x)(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减.
因此f(x)x=1处取得极大值,所以x0=1.
(
) (x)=3ax2+2bx+c,
(1)=0, (2)=0,   f(1)=5,
    解得a=2,b=9,c=12.
解法二:()同解法一.
(
)(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,
(x)=3ax2+2bx+c,    所以a=,b=c=2m

f(x)=    f(l)=5,     m=6.
所以a=2,b=9,c=12.

3.

 ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACC1A1;

(Ⅱ)若二面角C1-BD-C的大小为60o,求异面直线BC1AC所成角的大小.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

解法一:

(Ⅰ)∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,∴CC1⊥平面ADCD, BDCC1

ABCD是正方形   BDAC   又∵ACCC1平面ACC1A1,

ACCC1=C,   BD⊥平面ACC1A1.

 () BDAC相交于O,连接C1O.  CC1⊥平面ADCD, BDAC,

  BDC1O,  ∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角,

∴∠C1OC=60o连接A1B.   A1C1//AC,    ∴∠A1C1BBC1AC所成的角.

BC=a,∴异面直线BC1AC所成角的大小为

解法二:

 (Ⅰ)建立空间直角坐标系D-xyz,如图.

AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),

()BDAC相交于O,连接C1O,则点O坐标为

∴异面直线BC1AC所成角的大小为

4.

某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.

方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;

方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.50.60.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:

()该应聘者用方案一考试通过的概率;

()该应聘者用方案二考试通过的概率.

难度:
知识点:概率
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【答案】

解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为AB,C

P(A)=0.5P(B)0.6P(C)=0.9.

() 应聘者用方案一考试通过的概率

  p1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)

    =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27

=0.75.

() 应聘者用方案二考试通过的概率

  p2=P(AB)+P(BC)+ P(AC)

    =×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)

=×1.29

=0.43

5.

椭圆C:的两个焦点为F1,F2,P在椭圆C上,且,

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心,交椭圆CA,B两点,且AB关于点M对称,求直线l的方程.

难度:
知识点:圆锥曲线与方程
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【答案】

解法一:

(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以a=3.

Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2c2=4,

  所以椭圆C的方程为1.

(Ⅱ)AB的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2.

   已知圆的方程为(x+22+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(-21.

   从而可设直线l的方程为

   y=k(x+2)+1,

   代入椭圆C的方程得

  4+9k2x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.

   因为AB关于点M对称.

   所以

   解得

   所以直线l的方程为

   8x-9y+25=0.

   (经检验,所求直线方程符合题意)

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为(x+22+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(-21.

   AB的坐标分别为(x1,y1,(x2,y2).由题意x1x2

                                                                                           ①

                                                                                          ②

                            ③

因为AB关于点M对称,

所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,

代入

即直线l的斜率为

所以直线l的方程为y1x+2),

8x9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意.)

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试题总数:
12
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
容易
1
8.33%
中等
9
75.0%
基础
2
16.66%
题型统计
大题类型
数量
占比
计算题
6
50.0%
填空题
6
50.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
三角函数
2
16.66%
导数及其应用
1
8.33%
点 直线 平面之间的位置
1
8.33%
概率
1
8.33%
圆锥曲线与方程
1
8.33%
数列
1
8.33%
平面向量
2
16.66%
计数原理
1
8.33%
函数的应用
1
8.33%
不等式
1
8.33%
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