在下列各题中,判断p是q的什么条件.
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
解:(1)因为x-2=0 (x-2)(x-3)=0,
而(x-2)(x-3)=0x-2=0,
所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为m<-2方程x2-x-m=0无实根,
而方程x2-x-m=0无实根m<-2,
所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为pq,
而qp,
所以p是q的充分不必要条件.
已知p:x2-8x-20<0,q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解:令命题p对应的集合为A,
命题q对应的集合为B,
由x2-8x-20<0,
得(x-10)(x+2)<0,
解得-2<x<10,
所以A={x|-2<x<10}.
又由x2-2x+1-m2<0,
得[x-(1+m)][x-(1-m)]<0,
因为m>0,
所以1-m<x<1+m,
所以B={x|1-m<x<1+m,m>0}.
因为q是p的充分不必要条件,
所以BA.
所以且两等号不能同时成立.
解得0<m≤3.
经检验知m=3时符合题意.
所以m的取值范围是(0,3].
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:先证必要性:
因为a+b=1,即b=1-a,
所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
再证充分性:
因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
由ab≠0,即a≠0,且b≠0,
所以a2-ab+b2≠0,只有a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
解:①a=0时,方程有一个负实根.
②a≠0时,显然方程没有零根.
若方程有两个异号的实根,则a<0;
若方程有两个负实根,则
解得0<a≤1.
综上知:若方程至少有一个负实根,则a≤1;反之,
若a≤1,则方程至少有一个负实根.
因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
已知p:A={x|x2-5x-6<0},q:B={x|-1<x<2a},且p是q的充分条件,求a的取值范围.
错解:由x2-5x-6<0,得-1<x<6.
因为p是q的充分条件,故2a>6,即a>3.
所以a的取值范围为a>3.
错因分析:“p是q的充分条件AB”,而错解用了“p是q的充分条件AB”,导致丢掉等号的错误.
正解:由x2-5x-6<0,得-1<x<6,
因为p是q的充分条件,即AB,
故2a≥6,即a≥3,所以a的取值范围为a≥3.
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