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2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何综合检测(三)试题含答案解析.doc
2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何综合检测(三)试题含答案解析.doc
高中
整体难度:中等
2020-07-28
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一、解答题 (共6题)
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1.

如图,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCDPAAB,点E是棱PB的中点.

(1)求直线AD与平面PBC的距离;

(2)AD,求二面角A­EC­D的平面角的余弦值.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

解析:(1)如图A为坐标原点射线ABADAP分别为x轴、yz轴正半轴建立空间直角坐标系Axyz.

D(0a0)B(00)C(a0)P(00)E.

因此(0a0)

(a)

·0·0所以AE⊥平面PBC.

又由AD∥BCAD∥平面PBC故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离即为||.

(2)设平面AEC的法向量为n1(x1y1z1)

因为(0)

所以

x1=-1y1z11

所以n1(11)

设平面EDC的法向量为n2(x2y2z2)

因为(00)

所以

z2y21.

所以n2(01)

cosn1n2〉=.

所以二面角A­EC­D的平面角的余弦值为.

2.

如图,菱形ABCD的对角线ACBD交于点OAB5AC6,点EF分别在ADCD上,AECFEFBD于点H.△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′.

(1)证明:D′H⊥平面ABCD

(2)求二面角B­D′A­C的正弦值.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

解析:(1)证明:由已知得AC⊥BDADCD.

又由AECFAC∥EF.

因此EF⊥HD从而EF⊥D′H.

AB5AC6

DOBO4.

EF∥AC.

所以OH1D′HDH3.

于是D′H2OH2321210D′O2D′H⊥OH.

D′H⊥EFOH∩EFH所以D′H⊥平面ABCD.

(2)如图H为坐标原点的方向为x轴正方向的方向为y轴正方向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系Hxyz.H(000)A(310)B(050)C(310)D′(003)(340)(600)(313)

m(x1y1z1)是平面ABD′的法向量

所以可取m(435)

n(x2y2z2)是平面ACD′的法向量

所以可取n(031)

于是cosmn〉=

sinmn〉=.

因此二面角B­D′A­C的正弦值是.

3.

如图,四面体ABCD中,OBD的中点,CACBCDBD2ABAD.

(1)求证:AO⊥平面BCD

(2)求异面直线ABCD所成角的余弦值.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

解析:(1)证明:连接OC

因为BODOABAD所以AO⊥BD.

因为BODOBCCD所以CO⊥BD.

△AOC由已知可得AO1CO.AC2

所以AO2CO2AC2

所以∠AOC90°AO⊥OC.因为BD∩OCO所以AO⊥平面BCD.

(2)O为原点如图建立空间直角坐标系

B(100)D(100)C(00)A(001)(101)(10)

所以cos

所以异面直线ABCD所成角的余弦值为.

4.

如图,在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上一点,CPm,试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

解析:建立如图所示的空间直角坐标系A(100)B(110)P(01m)C(010)D(000)B1(111)D1(001)

(110)(001)(11m)(110)

又由00

为平面BB1D1D的一个法向量.

AP与平面BB1D1D所成的角为θ

sin θ|cos|.

依题意得sin 60°解得m.

故当m直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.

5.

如图所示,在四棱锥M­ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AMABAD的夹角都是60°NCM的中点,设abc,试以abc为基向量表示出向量,并求BN的长.

难度:
知识点:平面向量
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【答案】

解析:

所以=-abc

||22

(a2b2c22a·b2a·c2b·c)

所以||BN的长为.

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试题总数:
22
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
2
9.09%
容易
18
81.81%
基础
2
9.09%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
点 直线 平面之间的位置
9
40.90%
平面向量
13
59.09%
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