如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=,求二面角AECD的平面角的余弦值.
解析:(1)如图,以A为坐标原点,射线AB、AD,AP分别为x轴、y轴,z轴正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0,a,0),则B(,0,0),C(,a,0),P(0,0,),E.
因此,=,=(0,a,0),
=(,a,-).
则·=0,·=0,所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为||=.
(2)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
因为=,=(,,0),
所以
令x1=-1,得y1=,z1=1,
所以n1=(-1,,1).
设平面EDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
因为=,=(-,0,0),
所以
令z2=,得y2=1.
所以n2=(0,1,).
故cos〈n1,n2〉==.
所以二面角AECD的平面角的余弦值为.
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=.
(1)证明:D′H⊥平面ABCD;
(2)求二面角BD′AC的正弦值.
解析:(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.
由AB=5,AC=6得
DO=BO==4.
由EF∥AC得==.
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD.
(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系Hxyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).
设m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,则
即
所以可取m=(4,3,-5).
设n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,则即
所以可取n=(0,-3,1).
于是cos〈m,n〉==,
sin〈m,n〉=.
因此二面角BD′AC的正弦值是.
如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
解析:(1)证明:连接OC,
因为BO=DO,AB=AD,所以AO⊥BD.
因为BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,
所以AO2+CO2=AC2,
所以∠AOC=90°,即AO⊥OC.因为BD∩OC=O,所以AO⊥平面BCD.
(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-,0),
所以cos==,
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上一点,CP=m,试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
则=(-1,-1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0).
又由=0,=0知,⊥,⊥,
则为平面BB1D1D的一个法向量.
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,
则sin θ=|cos|=.
依题意得=sin 60°=,解得m=.
故当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
如图所示,在四棱锥MABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=,b=,c=,试以a,b,c为基向量表示出向量,并求BN的长.
解析:
=
=
=
所以=-a+b+c,
||2=2=
=(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=,
所以||=,即BN的长为.
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