在二项式的展开式中,常数项是________;系数为有理数的项的个数是_______.
【分析】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数,属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手,根据要求,考察的幂指数,使问题得解.
【详解】
的通项为
可得常数项为,
因系数为有理数,,有共5个项
【点睛】
此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式,特别是“幂指数”不能记混,其次,计算要细心,确保结果正确.
在的二项展开式中,项的系数为 .(结果用数值表示).
21.
【解析】
利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.
【详解】
二项式(1+x)7展开式的通项公式为
Tr+1=•xr,
令r=2,得展开式中x2的系数为=21.
故答案为:21.
【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.
的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)
【解析】
试题分析:展开式通项为,令,得,
所以展开式中的系数为.故答案为.
【考点】二项式定理
【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所要求的项.
②有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
4名学生参加3个兴趣小组活动,每人参加一个或两个小组,那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.
90
【分析】
由题意得4名学生中,恰有2名学生参加2个兴趣小组,,其余2 名学生参加一个兴趣小组,然后分情况讨论可得参加的不同的分组的种数.
【详解】
由题意得4名学生中,恰有2名学生参加2个兴趣小组,,其余2 名学生参加一个兴趣小组,首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有种.
下面对参加兴趣小组的情况进行讨论:
参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同,共种;
2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同,共种.
故共有种.
即答案为90.
【点睛】
本题考查两个计数原理,属中档题.
若二项式的展开式中的常数项为,则______.
124
【分析】
先根据二项展开式求得常数项项数,即得常数项,再根据定积分得结果.
【详解】
因为,
所以由得,
因此.
【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.
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