如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=2,CD=4,将三角形ABD沿BD翻折,使面ABD⊥面BCD.
(Ⅰ) 求线段AC的长度;
(Ⅱ) 求证:AD⊥平面ABC.
【考点】直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;数形结合;综合法;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】法一:
(Ⅰ)取CD中点E,连接BE,推导出四边形ABDE为正方形,BD⊥BC,从而BC⊥面ABD,由此能求出线段AC的长度.
(Ⅱ)由BC⊥面ABD,得BC⊥AD,又AB⊥AD,由此能证明AD⊥平面ABC.
法二:
(Ⅰ)取CD中点E,连接BE,推导出四边形ABDE为正方形,BD⊥BC,取BD中点F,连接AF,CF,则AF⊥面BCD,由此能求出线段AC的长度.
(Ⅱ)由勾股定理得AD⊥AC,又AB⊥AD,由此能证明AD⊥平面ABC.
【解答】解法一:
解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,
取CD中点E,连接BE,因为AB⊥AD,AB=AD=2,
所以,又,
所以四边形ABDE为正方形,即有BE=2,BE⊥CD,
所以…
在△BCD中,,所以BD⊥BC,
翻折之后,仍有BD⊥BC…
又面ABD⊥面BCD,面ABD∩面BCD=BD,BC⊂面BCD,所以BC⊥面ABD…
又AB⊂面ABD,所以BC⊥AB…
所以…
证明:(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥面ABD,又AD⊂面ABD,所以BC⊥AD,…
又AB⊥AD,AB∩BC=B,所以AD⊥平面ABC.…
解法二:
解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,取CD中点E,连接BE,
因为AB⊥AD,AB=AD=2,所以
又,所以四边形ABDE为正方形,
即有BE=2,BE⊥CD,所以…
在△BCD中,,所以BD⊥BC,
翻折之后,仍有BD⊥BC…
取BD中点F,连接AF,CF,则有BD⊥AF,
因为面ABD⊥面BCD,面ABD∩面BCD=BD,BD⊥AF,AF⊂面ABD,
所以AF⊥面BCD…
又CF⊂面BCD,AF⊥CF…
因为,,
所以.…
证明:(Ⅱ)在△ACD中,,CD=4,AD=2,
AD2+AC2=CD2,
所以AD⊥AC…
又AB⊥AD,AB∩AC=A,
所以AD⊥平面ABC.…
【点评】本题考查线段长的求法,考查线面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
平面的概念:
平面是无限伸展的;
平面的表示:
通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
平面的画法:
①通常把水平的平面画成锐角为45。,横边长等于其邻边长2倍的平行四边形,如图1所示.②如果一个平面被另一个平面挡住,则被遮挡的部分用虚线画出来,如图2所示,
平面的性质:
(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1:。
应用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
立体几何问题的重要方法:
根据平面的基本性质,把空间图形转化为平面图形来解决,这是立体几何中解决问题的重要思想方法.通常要解决以下四类问题:
(l)证明空间三点共线问题:证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两个点在某两个平面上,再证明第三个点既在第一个平面内,又在第二个平面内,当然必在两平面的交线上.
(2)证明空间三线共点问题:证明这类问题一般根据公理l和公理3,把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线,然后证明两条直线的交点在此直线上.
(3)证明空间点共面问题:可根据公理2,先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内.
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论,先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证其余直线在这个平面内,或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面,再一一确定这些平面重合.
基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面,证明此类问题,常用的方法有:
①纳入法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内.
②同一法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的平面内,……,最后证明这些平面重合.
③反证法:可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.
点线面位置关系的符号语言如下表:
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