如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:在棱上存在一点,使得平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
(1)由侧棱垂直于底面,平面,得,又,
点,所以平面,从而平面平面;
(2)取中点,连接,,由为的中点,知,
平面,得平面,
因为,,所以四边形为平行四边形,
则,平面,得平面,而点,
平面平面,即存在中点,使得平面平面;
(3)点到底面的距离即为侧棱长,在中,,,,所以,,
所以.
已知方程
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值。
解:(1),
5分
(2)由,消去x得
,且
得出:
,经检验符合题意。
∴ 12分
如图,多面体中,,,,平面平面,为的中点.
(1)若是线段的中点,求证:平面;
(2)若,,,求证:平面.
(1)取的中点,连接,,由是的中点,得,
又,得,平面,所以平面,同理可证,平面,而点,所以平面平面,
从而平面;
(2)连接,,,由,为的中点,得,又
平面平面,平面平面,平面,所以平面,则,
由勾股定理,在中,,,得,在中,,,得,在直角梯形中,由平面几何知识计算得,所以,即,而点,所以平面.
已知动圆经过点,.
(1)求周长最小的圆的一般方程;
(2)求圆心在直线上的圆的标准方程.
(1)以线段为直径的圆的周长最小,中点坐标,,
圆的标准方程为,一般方程为;
(2)线段中垂线的斜率为,中垂线方程为,
联立方程,得圆心坐标,半径,
标准方程为
四边形是正方形,是正方形的中心,平面,是的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:.
(1)连接,,则经过正方形中心点,由是的中点,是的中点,得,又平面,平面,所以平面;
(2)由平面,得,又正方形对角线互相垂直,即,点,平面,所以平面,得.
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