已知函数,其中.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若,当时,恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)因为,所以.
所以.
当时,由得;由得.故在上单调递减,在上单调递增.
当时,由得;由得.故在上单调递减,在上单调递增
综上可知,当时在上单调递减,在上单调递增;当时在上单调递减,在上单调递增.
(2)若,不等式转化为当时,恒成立.
令,则.
令,则.
①当时,对任意,恒有,所以在上单调递增,所以,所以不合题意.
②当时,因为,所以,所以,即,
所以在上单调递减,所以,即,
所以在上单调递减,所以,所以符合题意
③当时,令,解得,令,解得.所以在上单调递增.所以,即,所以在上单调递增,所以当时,,
故不合题意.
综合①②③可知,实数的取值范围是.
2019年10月,工信部颁发了国内首个无线电通信设备进网许可证,标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某手机生产商拟升级设备生产手机,有两种方案可供选择,方案1:直接引进手机生产设备;方案2:对已有的手机生产设备进行技术改造,升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟,得到如下统计表:
市场销售状态 | 畅销 | 平销 | 滞销 | |
市场销售状态概率 |
|
|
| |
预期年利润数值(单位:亿元) | 方案1 | 70 | 40 | -40 |
方案2 | 60 | 30 | -10 |
(1)以预期年利润的期望值为依据,就的取值范围,讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级?
(2)设该生产商升级设备后生产的手机年产量为万部,通过大数据模拟核算,选择方案1所生产的手机年度总成本(亿元),选择方案2所生产的手机年度总成本为(亿元).已知,当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时,每部手机销售单价分别为0.8万元,(万元),(万元),根据(1)的决策,假设生产的手机全部售尽,求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值?并判断这个最大值能否超过预期年利润的数值.
(1)由,可得的取值范围为.
方案1的预期年利润期望值为
.
方案2的预期年利润期望值为
.
当时,,该手机生产商应该选择方案1;
当时,,该手机生产商可以选择方案1,也可以以选择方案2;
当时,,该手机生产商应该选择方案2;
(2)因为,该手机生产商将选择方案1,此时生产的手机的年度总成本为(亿元).
市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为,,(亿元),因为,所以手机生产商年销售额的分布列为
|
|
|
|
| 0.4 | 0.4 | 0.2 |
所以
.
年利润期望值(亿元).
当时,年利润期望取得最大值40亿元.
又方案1的预期年利润期望值为(亿元).
因为,因此这个年利润期望的最大值超过了预期年利润的数值.
为虚数单位,是虚数, 是实数,且,.
(1)求及的取值范围;
(2)求的最小值.
解:(1),因为是实数,
所以,又,所以,所以.
因为,且,所以.
(2)由题意知,
所以
,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为1
已知函数在处取得极值.
(1)求和的值以及函数的极大值和极小值;
(2)过点作曲线的切线,求此切线的方程.
解:(1),由题意可知是方程的两根,可得,
所以,时,,时,,时,,在处取得极大值2,在处取得极小值-2;
(2)易知点不在曲线上,设切点坐标为,则有
,解得,
所以切线的斜率为9,切线的方程为
某单位组织开展“学习强国”的学习活动,活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下:
学习活跃的员工人数 | 学习不活跃的员工人数 | |
甲 | 18 | 12 |
乙 | 32 | 8 |
(1)根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关;
(2)活动第二周,单位为检查学习情况,从乙部门随机抽取2人,发现这两人学习都不活跃,能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了?说明理由。
参考公式:,其中.
参考数据:,,.
解:(1),
因为,所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关;
(2)设事件为“第二周从乙部门随机抽取2人,这两人学习都不活跃”,若第二周保持第一周的活跃情况,则,
因为很小,所以事件一般不容易发生,现在发生了,则说明学习不活跃的人数增加了,即活跃率降低了.
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