已知圆C经过A(﹣2,0),B(1,)两点,且圆心C在直线l1:y=x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知过点P(1,2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为,求直线l2的方程;
(3)已知点M(1,1),在平面内是否存在异于点M的定点N,对于圆C上的任意动
点Q,都有为定值?若存在求出定点N的坐标,若不存在说明理由.
解:(1)因为圆C经过A(﹣2,0),B(1,)两点,且圆心C在直线l1:y=x上,
设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
所以(﹣2)2﹣2D+F=0,12+()2+D+E+F=0,﹣=﹣,
所以D=E=0,F=﹣4.
所以圆C:x2+y2=4.
(2)当斜率不存在的时候,x=1,弦长为2,满足题意;
当斜率存在的时候,设l2:y﹣2=k(x﹣1),即kx﹣y+2﹣k=0,
=1,k=,
所以直线l2的方程为:x=1或3x﹣4y+5=0.
(3)设Q(x0,y0),N(m,n),且x02+y02=4.
==,
因为为定值,设=λ,
化简得:(2λ﹣2m)x0+(2λ﹣2n)y0+m2+n2+4﹣6λ=0,与Q点位置无关,
所以,
解得m=n=1或m=n=2.
所以定点为(2,2).
如图,OPQ是半径为2,圆心角为的扇形,点A在弧上(异于点P,Q),过点
A作AB⊥OP,AC⊥OQ,垂足分别为B,C,记∠AOB=,四边形ACOB的面积为S.
(1)求S关于的函数关系式;
(2)当为何值时,S有最大值,并求出这个最大值.
解:(1)因为AB⊥OP,所以在Rt△OAB中,AB=OAsinθ=2sinθ,OB=OAcosθ=2cosθ,
,
因为,所以;
同理:;
从而S关于θ的解析式为
S=S△ABO+S△ACO=sin2θ+sin(﹣2θ),(0<θ<);(不写定义域扣分)
(2)化简函数
=
=
=
=
=,
因为,所以,
故当,即时S有最大值,最大值为.
答:当θ为时,面积S有最大值,最大值为.
如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,分别是,
的中点.
求证:(1)∥平面 (2)平面⊥平面.
证明:(1)在△APC中,因为E,F分别是PA,AC的中点,
所以EF∥PC,
又PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,
所以EF∥平面PBC;
(2)因为AB=BC,且点F是AC的中点,
所以BF⊥AC,
又平面ABC⊥平面PAC,平面ABC∩平面PAC=AC,BF⊂平面ABC,
所以BF⊥平面PAC,
因为EF⊂平面BEF,
所以平面BEF⊥平面PAC.
已知α∈,且.
(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.
解:(1)∵α∈(,π),且sin+cos=,两边平方可得:1+sinα=,∴sinα=,可得:cosα=﹣=﹣.
(2)∵由(1)可得:sin α=,cosα=﹣.
∵<α<π,<β<π,∴﹣<α﹣β<,
又sin(α﹣β)=﹣,得cos(α﹣β)=,
∴cos β=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)=﹣×+×(﹣)=﹣.
如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于点E,F
是线段PC中点,G为线段EC中点.
(1)求证:FG//平面PBD;
(2)求证:BD⊥FG.
证明:(Ⅰ)连接PE,G、F为EC和PC的中点,
∴FG∥PE,FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,
∴FG∥平面PBD
(Ⅱ)∵菱形ABCD,∴BD⊥AC,
又PA⊥面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA,
∵PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,FG⊂平面PAC,
∴BD⊥FG
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