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2022-2023学年度高中数学立体几何新定义练习题含解析
2022-2023学年度高中数学立体几何新定义练习题含解析
高中
整体难度:中等
2022-08-29
题号
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一、选择题 (共15题)
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1.

《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 堑堵 ;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为 阳马 ;四个面均为直角三角形的四面体称为 鳌臑 ”. 如图,在堑堵 中, ,且 . 下列说法 错误 的是(

A .四棱锥 阳马

B .四面体 鳖臑

C .四棱锥 体积的最大值为

D .过 A 点作 于点 E ,过 E 点作 于点 F ,则 AEF

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

C

【分析】根据 阳马 鳖膈 的定义,可判断 A B 的正误;当且仅当 时,四棱锥 体积有最大值,求值可判断 C 的正误;根据题意可证 平面 ,进而判断 D 的正误 .

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 堑堵

在堑堵 中, ,侧棱 平面

A 选项, ,又 ,且 ,则 平面

四棱锥 阳马 ,故 A 正确;

B 选项,由 ,即 ,又

平面 ,则 为直角三角形,

又由 平面 ,得 为直角三角形,由 堑堵 的定义可得 为直角三角形, 为直角三角形, 四面体 鳖膈 ,故 B 正确;

C 选项,在底面有 ,即 ,当且仅当 时取等号,

,最大值为 ,故 C 错误;

D 选项,因为 ,所以 平面 ,故 D 正确;

故选: C

2.

已知体积公式 中的常数 称为 立圆率 ”. 对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体,球也可利用公式 求体积(在等边圆柱中, 表示底面圆的直径;在正方体中, 表示棱长,在球中, 表示直径) . 假设运用此体积公式求得等边圆柱(底面圆的直径为 ),正方体(棱长为 ),球(直径为 )的 立圆率 分别为 ,则

A B

C D

难度:
知识点:空间几何体
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【答案】

A

【分析】根据体积公式分别求出 立圆率 即可得出 .

【详解】因为 ,所以

因为 ,所以

因为 ,所以

所以 .

故选: A.

3.

P 为多面体 M 的一个顶点,定义多面体 M P 处的离散曲率为 为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点,且平面 …… 遍及多面体 M 的所有以 P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,若它们在各顶点处的离散曲率分别是 a b c d ,则 a b c d 的大小关系是(

A B

C D

难度:
知识点:空间几何体
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【答案】

B

【分析】根据题意给的定义,结合图形,分别求出 a b c d 的值即可比较大小 .

【详解】对于正四面体,其离散曲率为

对于正八面体,其离散曲率为

对于正十二面体,其离散曲率为

对于正二十面体,其离散曲率为

所以 .

故选: B.

4.

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用,在数学上用曲率刻画空间弯曲性 . 规定:多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和 . 例如:正四面体在每个顶点有 个面角,每个面角是 ,所以正四面体在每个顶点的曲率为 ,故其总曲率为 . 给出下列三个结论:

正方体在每个顶点的曲率均为

任意四棱锥的总曲率均为

若某类多面体的顶点数 ,棱数 ,面数 满足 ,则该类多面体的总曲率是常数 .

其中,所有正确结论的序号是(

A ①② B ①③ C ②③ D ①②③

难度:
知识点:空间几何体
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【答案】

D

【分析】根据曲率的定义依次判断即可 .

【详解】 根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ,故 正确;

由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和,因为四棱锥有 5 个顶点, 5 个面,分别为 4 个三角形和 1 个四边形,所以任意四棱锥的总曲率为 ,故 正确;

设每个面记为 边形,

则所有的面角和为

根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数,故 正确 .

故选: D.

5.

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容 . 用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和,例如:正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 ,则四棱锥的总曲率为(

A B C D

难度:
知识点:空间中的向量与立体几何
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【答案】

B

【分析】 根据题中给出的定义,由多面体的总曲率计算求解即可.

【详解】 解:由题意,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和,

因为四棱锥有 5 个顶点, 5 个面,其中 4 个三角形, 1 个四边形,

所以四棱锥的表面内角和由 4 个三角形和 1 个四边形组成,

所以面角和为

故总曲率为

故选: B.

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试题总数:
35
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
18
51.42%
容易
8
22.85%
偏难
7
20.0%
基础
1
2.85%
很难
1
2.85%
题型统计
大题类型
数量
占比
选择题
15
42.85%
填空题
10
28.57%
解答题
10
28.57%
知识点统计
知识点
数量
占比
点 直线 平面之间的位置
6
17.14%
空间几何体
17
48.57%
空间中的向量与立体几何
10
28.57%
三角函数
1
2.85%
导数及其应用
1
2.85%
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