《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 “ 堑堵 ” ;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为 “ 阳马 ” ;四个面均为直角三角形的四面体称为 “ 鳌臑 ”. 如图,在堑堵 中, ,且 . 下列说法 错误 的是( )
A .四棱锥 为 “ 阳马 ”
B .四面体 为 “ 鳖臑 ”
C .四棱锥 体积的最大值为
D .过 A 点作 于点 E ,过 E 点作 于点 F ,则 面 AEF
C
【分析】根据 “ 阳马 ” 和 “ 鳖膈 ” 的定义,可判断 A , B 的正误;当且仅当 时,四棱锥 体积有最大值,求值可判断 C 的正误;根据题意可证 平面 ,进而判断 D 的正误 .
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 “ 堑堵 ” ,
∴ 在堑堵 中, ,侧棱 平面 ,
A 选项, ∴ ,又 ,且 ,则 平面 ,
∴ 四棱锥 为 “ 阳马 ” ,故 A 正确;
B 选项,由 ,即 ,又 且 ,
∴ 平面 , ∴ ,则 为直角三角形,
又由 平面 ,得 为直角三角形,由 “ 堑堵 ” 的定义可得 为直角三角形, 为直角三角形, ∴ 四面体 为 “ 鳖膈 ” ,故 B 正确;
C 选项,在底面有 ,即 ,当且仅当 时取等号,
,最大值为 ,故 C 错误;
D 选项,因为 , , ,所以 平面 ,故 D 正确;
故选: C
已知体积公式 中的常数 称为 “ 立圆率 ”. 对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体,球也可利用公式 求体积(在等边圆柱中, 表示底面圆的直径;在正方体中, 表示棱长,在球中, 表示直径) . 假设运用此体积公式求得等边圆柱(底面圆的直径为 ),正方体(棱长为 ),球(直径为 )的 “ 立圆率 ” 分别为 , , ,则 ( )
A . B .
C . D .
A
【分析】根据体积公式分别求出 “ 立圆率 ” 即可得出 .
【详解】因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
故选: A.
设 P 为多面体 M 的一个顶点,定义多面体 M 在 P 处的离散曲率为 为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点,且平面 , , …… , 遍及多面体 M 的所有以 P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,若它们在各顶点处的离散曲率分别是 a , b , c , d ,则 a , b , c , d 的大小关系是( )
A . B .
C . D .
B
【分析】根据题意给的定义,结合图形,分别求出 a 、 b 、 c 、 d 的值即可比较大小 .
【详解】对于正四面体,其离散曲率为 ,
对于正八面体,其离散曲率为 ,
对于正十二面体,其离散曲率为 ,
对于正二十面体,其离散曲率为 ,
则 ,
所以 .
故选: B.
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用,在数学上用曲率刻画空间弯曲性 . 规定:多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和 . 例如:正四面体在每个顶点有 个面角,每个面角是 ,所以正四面体在每个顶点的曲率为 ,故其总曲率为 . 给出下列三个结论:
① 正方体在每个顶点的曲率均为 ;
② 任意四棱锥的总曲率均为 ;
③ 若某类多面体的顶点数 ,棱数 ,面数 满足 ,则该类多面体的总曲率是常数 .
其中,所有正确结论的序号是( )
A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③
D
【分析】根据曲率的定义依次判断即可 .
【详解】 ① 根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ,故 ① 正确;
② 由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和,因为四棱锥有 5 个顶点, 5 个面,分别为 4 个三角形和 1 个四边形,所以任意四棱锥的总曲率为 ,故 ② 正确;
③ 设每个面记为 边形,
则所有的面角和为 ,
根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数,故 ③ 正确 .
故选: D.
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容 . 用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和,例如:正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 ,则四棱锥的总曲率为( )
A . B . C . D .
B
【分析】 根据题中给出的定义,由多面体的总曲率计算求解即可.
【详解】 解:由题意,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和,
因为四棱锥有 5 个顶点, 5 个面,其中 4 个三角形, 1 个四边形,
所以四棱锥的表面内角和由 4 个三角形和 1 个四边形组成,
所以面角和为 ,
故总曲率为 .
故选: B.
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