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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅱ.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅱ.文)
高中
整体难度:很难
2009-03-16
题号
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一、计算题 (共1题)
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1.

PQMN四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。己知共线, 共线,且=0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

难度:
知识点:圆锥曲线与方程
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【答案】

解:如图,由条件知MNPQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F01),且PQMN,直线PQMN中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,又PQ过点F01),

PQ方程为

将此式代入椭圆方程得

      

PQ两点的坐标分别为,则

从而 |

                           

亦即  

i)当时,MN的斜率为,同上可推得

             

故四边形面积

              

                

                                                 

,得

         

因为 ,

时,,

是以为自变量的增函数,

所以                                 

ii)当时,MN为椭圆长轴,

       

综合(i),(ii)知,四边形PMQN面积的最大值为,最小值为

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圆锥曲线与方程
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