P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。己知与共线, 与共线,且・=0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
解:如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、MN中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,又PQ过点F(0,1),
故PQ方程为
将此式代入椭圆方程得
设P、Q两点的坐标分别为,则
,
从而 |
亦即
(i)当时,MN的斜率为,同上可推得
故四边形面积
令,得
因为 ,
当时,,
且是以为自变量的增函数,
所以
(ii)当时,MN为椭圆长轴,,
综合(i),(ii)知,四边形PMQN面积的最大值为,最小值为。
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