如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点,在此几何体中,给出下面四个
结论:①直线BE与直线CF是异面直线;
②直线BE与直线AF是异面直线;
③直线EF//平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD。
其中正确结论的序号是
A.②③ B.①② C.①④ D.②④
A
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1)。现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点。
(I)求证:BC⊥平面AEC;
(II)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.
证:
(I)在图1中,过C作CF⊥EB,
∵DE⊥EB,∴四边形CDEF是矩形,
∵CD=1,∴EF=1。
∵四边形ABCD是等腰梯形,AB=3。
∴AE=BF=1。
∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1。
连结CE,则CE=CB=
∵EB=2,∴∠BCE=90°。
则BC⊥CE。
在图2中,∵AE⊥EB,AE⊥ED,EB∩ED=E,
∴AE⊥平面BCDE。
∵BC平面BCDE,∴AE⊥BC。
∵AE∩CE=E,∴BC⊥平面AEC。
(II)用反证法。
假设EM∥平面ACD。
∵EB∥CD,CD平面ACD,EB平面ACD,
∴EB∥平面ACD。∵EB∩EM=E,∴面AEB∥面ACD
而A∈平面AEB,A∈平面ACD,
与平面AEB//平面ACD矛盾。
∵假设不成立。
∴EM与平面ACD不平行。
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