一名学生每天骑自行车上学,途中要经过设红绿灯的4个路口,假设他在每个路口遇到红灯的概率都为,且遇到红灯均是相互独立的。
(I)求这中学生在途中3次遇到红灯的概率;
(II)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率;
(III)设是这名学生上学途中遇到红灯的次数,求
解:(1)设三次遇到红灯的概率为
(2)至少遇到一次红灯的概率为
(3)
已知数列
(I)若函数求证:;
(II)设。试问:是否存在关于n的整式g(n),使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若不存在,试说明理由;若存在,写现g(n)的解析式,并加以证明。
解:
又是以1为首项,1为公差的等差数列,
(I),
是单调递增的,
故,
(II)
假设存在关于n的整式满足要求,则有
下面用数学归纳法证明:对于一切不小于2的自然数n恒成立。
①当n=2时,左边,
所以左边=右边。
②假设时,等式成立,
即,
则当时,
左边
右边
时,等式也成立。
由①、②可知,等式对于一切不小于2的自然数n恒成立。
故存在满足要求的整式 。
已知函数
证明:(1)或;
(2)若
证明:(1)上是增函数,
又上连续,从而
又,结论成立。
(2)设函数由(1)知,当时,
从而
所以上是增函数,又上连续,且,
所以当成立。
于是
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