若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
解:法一(看成函数的值域):
因为ab=a+b+3,所以b= (显然a≠1),且a>1.
所以ab=a·+5≥9,当且仅当a-1=,
即a=3时取等号.
又a>3时,(a-1)++5单调递增,
所以ab的取值范围是[9,+∞).
法二(看成不等式的解集):
因为a,b为正数,所以a+b≥2.
又ab=a+b+3,
所以ab≥2+3,
即()2-2-3≥0.
解得≥3或≤-1(舍去),
所以ab≥9,即ab的取值范围是[9,+∞).
法三:若设ab=t,
则a+b=t-3,
所以a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根.
从而有
即解得t≥9,即ab≥9,
所以ab的取值范围是[9,+∞).
已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
解:法一:在区间[1,+∞)上,f(x)=>0恒成立,等价于x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
而y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在定义域内单调递增,
所以当x=1时,ymin=3+a.
于是当ymin=3+a>0时,不等式f(x)>0恒成立,
故a>-3.
法二:f(x)=x++2,x∈[1,+∞),当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;当a<0时,函数f(x)单调递增,故当x=1时,f(x)min=3+a,于是当f(x)min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故-3<a<0.综上可得实数a的取值范围是a>-3.
设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M⊆[1,4],求实数a的取值范围.
解:M⊆[1,4]有两种情况:
其一是M=∅,此时Δ<0;其二是M≠∅,此时Δ=0或Δ>0,下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2-2ax+a+2,
则有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2),
(1)当Δ<0时,-1<a<2,
M=∅⊆[1,4];
(2)当Δ=0时,a=-1或2.
当a=-1时,M={-1}⃘[1,4].
当a=2时 ,M={2}⊆[1,4];
(3)当Δ>0时,a<-1或a>2.
设方程f(x)=0的两根x1,x2,
且x1<x2,
那么M=[x1,x2],M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4⇔
即
解得2<a<,
所以M⊆[1,4]时,a的取值范围是.
求证:sin2 x+≥5.
证明:设sin2x=t,原式变形为f(t)=t+,
则f(t)在t∈(0,1]时为单调递减函数.
因为0<sin2 x≤1,
所以当sin2 x=1.
即t=1时,f(t)有最小值,f(t)min=5.
所以f(t)=t+≥5,即sin2 x+≥5.
定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
解:由f(1-a)+f(1-a2)<0得
f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1),
所以⇒0<a<1.
所以a的取值范围是(0,1).
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