设函数().
(Ⅰ)试比较与的大小;
(Ⅱ)当时,求函数的图象与轴围成的图形面积.
【解】(I)因为,于是.
当且仅当时等号成立;……………………………………………………………5分
(Ⅱ)当时,
可知函数的图象和轴围成的图形是一个三角形,其中与轴的两个交点分别为,,三角形另一顶点坐标为,
从而面积为. …………………………………10分
已知曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与相交于两点,设点,求的值.
【解】(I)(为参数),
所以曲线的普通方程为. ………………………………………2分
,
所以的直角坐标方程为. ………………………………………5分
(Ⅱ)由题意可设,与两点对应的参数分别为,
将的参数方程代入的直角坐标方程,
化简整理得,,所以, ………………………………………7分
所以,
因为,所以,
所以 ……………………………………10分
已知函数().
(Ⅰ)当时,判断函数的零点个数;
(Ⅱ)若,求的最大值.
【解】(Ⅰ)当时,,定义域为,
当时,,所以函数在内无零点;
当时,,因为,,所以,说明函数在上单调递减,又,当时,,所以函数在内有且只有一个零点;
综上,函数的零点个数是1;………………………………………………………5分
(Ⅱ)若,即,设,
若,则当时,显然,故不符合题意,所以.………………7分
(),
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减;
从而,
由题意可知,所以,……………………9分
此时,令,,
可知在上单调增,在上单调减,
所以,故的最大值为.…………………………………………………12分
平面直角坐标系中,过椭圆:()焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为9.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是的左、右顶点,是上的两点,若,求四边形面积的最大值.
【解】(Ⅰ)设,,则,,,
由此可得,因为,,,所以,
又由题意知,的一个焦点为,故.因此,,
所以的方程为.……………………………………………………………………5分
(Ⅱ)由题意可设直线的斜率为,所以直线的方程为,
联立方程组可得,,所以有,进而可得,所以,…………………………………7分
同理可计算出,
所以四边形面积
,……………………9分
设,令(),所以,此时,当且仅当时取得等号,
所以四边形面积的最大值为.…………………………………………………12分
如图,四棱柱中,底面,四边形为梯形,,且,为的中点,过三点的平面记为.
(Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于直线;
(Ⅱ)若,,求平面与底面所成二面角的大小.
【解】(Ⅰ)如图,延长,交于点,
因为,且,所以,又为的中点,所以三点共线,此时平面与平面的交线为,
又平面平面,根据面面平行的性质定理可得,平面与平面的交线平行于直线;…………………………6分
(Ⅱ)在梯形中,由题意可计算出,,,,
进而可计算,,说明梯形是等腰梯形,所以有,
进一步可知为等边三角形,连接、,则,又,所以,此时就是平面与底面所成二面角的平面角,在直角中,,所以,即平面与底面所成二面角的大小为.………………………………………6分
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