设函数.
(1)若,解不等式;
(2)若有最小值,求实数的取值范围.
(1);(2).
【解析】(1)时,,即,
,解得,所以解集为.
(2)因为,
所以有最小值的充要条件为,
即.
已知平面直角坐标系中,过点的直线参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,求实数的值.
(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2).
【解析】(1)∵(为参数),
∴直线的普通方程为.
∵,∴,
由得曲线的直角坐标方程为.
(2)∵,∴,
设直线上的点对应的参数分别是,
则,
∵,∴,∴,
将,代入,得,
∴,
又∵,∴.
已知函数,其中.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的方程;
(2)若,函数在上为增函数,求证:.
(1)或;(2)证明见解析.
【解析】(1)∵,∴或,
当时,,∴的方程为:,
当时,,∴的方程为:.
(2)由题可得对恒成立,
∵,∴,即对恒成立,
∴,即对恒成立,
设,
则,∴在上递增,
∴,∴.
又,即,
∴.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
椭圆的左、右焦点分别为.
(1)若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆过点,直线,与椭圆的另一个交点分别为点,且的面积为,求椭圆的方程.
(1);(2).
【解析】(1)∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列,
∴,,,
∴,
两边同除以得,,
解得.
(2)由已知得,
把直线代入椭圆方程,得,
∴.
∴.
由椭圆的对称性及平面几何知识可知,面积为:
,
∴,解得,∴.
故所求椭圆的方程为.
三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】(1)连接,,在中,
∵是中点,∴,
又∵平面,
∴平面.
(2)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则,,,,,
,,.
设平面的法向量,
,
令,则,,∴,∴,
∴平面.
(3)设平面的法向量为,,
,
令,则,,
∴,
∴,
所求二面角的余弦值为.
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