设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围
解析:(1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,
在(-1,0)上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,则g′(x)=ex-a.
若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,
即f(x)≥0.
若a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时g(x)<0,即
f(x)<0.
综上,得a的取值范围为(-∞,1].
求下列函数的导数
设f(x)=ax+b,且 [f(x)]2dx=1,求f(a)的取值范围
求下列函数的导数
已知f(x)是一次函数,其图象过点(1,4),且f(x)dx=1,求f(x)的解析式;
设f(x)=kx+b(k≠0),因为函数的图象过点(1,4),所以k+b=4.①
所以+b=1.②
由①②得k=6,b=-2,所以f(x)=6x-2.
求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积.
作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.
求交点坐标:由故A;
由 (舍去),故B(1,1);
由故C(3,3),
已知曲线y=5,求:
(1)曲线在x=0处的切线方程;
(2)曲线上与直线5x-2y+1=0平行的切线的方程.
解析:y′=(5)′=5·(2x+1)-·(2x+1)′=.
(1)当x=0时导数值为5,所以曲线y=5在x=0处的切线的斜率为k=5,又切点坐标为(0,5),所以切线方程为y-5=5x,即5x-y+5=0.
(2)设切点坐标为(x0,y0),则切线斜率为.
由题意得=.
∴x0=,切点坐标为,
∴切线方程为y-10=.
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