如图,已知椭圆焦点为,双曲线,设是双曲线上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为和。
(1) 设直线的斜率分别为和,求的值;
(2) 是否存在常数,使得恒成立?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由。
(2)设直线
由方程组得
设
则
由弦长公式得
同理设,
由(1) 得,,代入得
,则
则存在,使得恒成立。
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(Ⅰ)求小球落入袋中的概率;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记为落入袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.
解: (Ⅰ)解法一:记小球落入袋中的概率,则,
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以‘………………………………………………………………… 2分
. ……………………………………………………………… 5分
解法二:由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
, ……………………………… 5分
某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)设所选3人中女生人数为,求的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
(1)解:的所有可能取值为0,1,2.…………………………1分
解法2:设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件,
从4个男生、2个女生中选3人,男生甲被选中的种数为,…………………………8分
男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为,………………………………10分
∴.
故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为.………………………12分
某电视生产厂家今年推出A、B、C、D四种款式电视机,每种款式电视机的外观均有黑色、银白色两种。四月份的电视机产量如下表(单位:台)
款式A | 款式B | 款式C | 款式D | |
黑色 | 150 | 200 | 200 |
|
银白色 | 160 | 180 | 200 | 150 |
若按电视机的款式采取分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取70台,其中有C种款式的电视机20台。
(1) 求的值;
(2) 若在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本,然后将该样本看成一个总体,从中任取2台,求恰有1台黑色、1台银白色电视的概率;
(3) 用简单随机抽样的方法从A种款式电视机中抽取10台,对其进行检测,它们的得分如下:94,92,92,96,97,95,98,90,94,97。如果把这10台电视机的得分看作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率。
解:(1)设该厂本月生产电视机共n台,由题意得
所以
所以的值为160。
(2)在C款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本,所以抽取了3台黑色电视机、3台银白色电视机,从中任取两台,取法总数为种
取一黑一白的取法为种,
所以恰有1台黑色、、一台银白色电视机的概率为。
(3)样本平均数为
那么与样本平均数之差的绝对值不超过2的数为94,96,95,94,
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率为。
已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项,求展开式中含的项的二项式系数.
解:设的展开式的通项为
.………………………………4分
若它为常数项,则,代入上式.
即常数项是27,从而可得中n=7, …………………8分
同理由二项展开式的通项公式知,含的项是第4项,
其二项式系数是35.……………………………………………………12分
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