高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算课后导练新人教B版选修1_120171101244
高中
整体难度：中等
2018-10-22
题号
一
二
三
四
五
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一、解答题 (共8题)
添加该题型下试题
1.
已知抛物线C1:y=x2+2x和C2：y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.
(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.
(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：134
【答案】
（1）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x21+2x1)的切线方程是y-(x21+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x21. ①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).
由Δ=0，得a=-
,解得x1=-,此时P与Q重合，即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线.
由①得公切线方程为y=x-
.
(2)证明：由（1）可知，当a＜-时，C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1,y1+y2=x21+2x1+(-x22+a)=x21+2x1-(x1+1)2+a=-1+a，线段PQ的中点为（
）.
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（
）,
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
2.
设直线l1与曲线y=
相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K，求KQ的长.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：188
【答案】
解：先确定l2的斜率，再写出方程，设P(x0,y0),
则
由l2和l1垂直，故
,于是
l2:y-y0=-2
(x-x0),
令y=0,则：
-y0=-2(xQ-x0)
即：-=-2(xQ-x0)
解得：xQ=+x0
易得：xK=x0
∴|KQ|=|xQ-xK|=.
3.
当常数k为何值时，直线y=x指出与函数y=x2+k相切？并求出切点.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：135
【答案】
解：设切点A（x0,x20+k）
∵y′=2x
故当k=时，直线y=x与函数y=x2+
的图象相切于点A且坐标为（
，）.
4.
曲线y=x2+1上点P处的切线与曲线y=-2x2-1也相切，求点P的坐标.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：135
【答案】
解：设P点坐标为（a,a2+1）,由y=x2+1,得y′=2x.
过P点的切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a)，
即y=2ax-a2+1,由
由相切知Δ=0，即a=±
,
∴P点为（
，
7 3），（-
，
）.
5.
已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：101
【答案】
解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f′(x)=g′(x)，得2x+a=2x+c,∴a=c. ③
由f(5)=30,得25+5a+b=30. ④
∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=-.
∴g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=
.
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试题总数：
16
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
13
81.25%
容易
3
18.75%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
8
50.0%
填空题
3
18.75%
选择题
5
31.25%
知识点统计
知识点
数量
占比
导数及其应用
16
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