如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体PABC中共有直角三角形的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
A.由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形,故四面体PABC中共有4个直角三角形.
如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC,
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
设a,b,c是空间的三条直线,α,β是空间的两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( )
A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥β
B.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥β
C.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥b
D.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c
B.A的逆命题为:当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β.
由线面垂直的性质知c⊥β,故A正确;B的逆命题为:当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β,显然错误,故B错误;C的逆命题为:当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若a⊥b,则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c,故C正确;D的逆命题为:当b⊂α,且c⊄α时,若b∥c,则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α,故D正确.
已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:
①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B.命题①,若α∥β,又m⊥α,所以m⊥β,又l⊂β,所以m⊥l,正确;
命题②,l与m可能相交,也可能异面,错误;
命题③,α与β可能平行,错误;
命题④,因为m∥l,又m⊥α,所以α⊥β,正确.
在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( )
A. B.2
C.3 D.4
D.如图,取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC.
又PA⊥平面ABC,根据三垂线定理,得PD⊥BC.
在Rt△ABD中,AB=5,BD=3,所以AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD=4.
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