已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式|g(x)|<5;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解 (1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,
所以-7<|x-1|<3,可得不等式的解集为(-2,4).
(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,
所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}.
又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,
所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,
所以实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).
已知椭圆C:+=1,直线l: (t为参数).
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.
解 (1)椭圆C的参数方程为 (θ为参数),
直线l的普通方程为x-y+9=0.
(2)设P(2cos θ,sin θ),
则|AP|==2-cos θ,
点P到直线l的距离d=
由|AP|=d,得3sin θ-4cos θ=5,
又sin2θ+cos2θ=1,
得sin θ=,cos θ=-.
故P.
已知函数f(x)=exlnx-aex(a∈R).
(1)若a=2,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)=exlnx+ex·-2ex=(-2+ln x)ex,f′(1)=-e,因为
(2)由(1)知f′(x)=(-a+ln x)ex,
若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0在x>0时恒成立.
即-a+ln x≤0在x>0时恒成立.
所以a≥+ln x在x>0时恒成立.
令g(x)=+ln x(x>0),
则g′(x)=-+= (x>0),
由g′(x)>0,得x>1;
由g′(x)<0,得0<x<1.
故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,+∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值(且无趋近值).
故f(x)不可能是单调递减函数.
若f(x)为单调递增函数,
则f′(x)≥0在x>0时恒成立,即-a+ln x≥0在x>0时恒成立,
所以a≤+ln x在x>0时恒成立,由上述推理可知此时a≤1.
故实数a的取值范围是(-∞,1].
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3,求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解 (1)由=2,得c·acosB=2.
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B=
==,
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因为a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C==.
于是cos(B-C)=cos BcosC+sin BsinC
=×+×=.
某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本,其选报文科、理科的情况如下表所示.
性别 科目 | 男 | 女 |
文科 | 2 | 5 |
理科 | 10 | 3 |
(1)若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会,试求3人中既有男生也有女生的概率;
(2)用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关?
参考公式:K2= (其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
解 (1)从报考文科的2名男生,报考理科的3名女生中任取3人,有C=10(种),其中全是女生的情况只有1种,∴3人中既有男生也有女生的概率为1-=.
(2)K2=≈4.432>3.841,可知有95%以上的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关.
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