2019山西高三上学期高中数学开学考试133590
高中
整体难度：中等
2019-01-30
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共7题)
添加该题型下试题
1.
已知函数
（1）求不等式
的解集；
（2）关于
的不等式
的解集不是空集，求实数
的取值范围．
难度：
知识点：基本初等函数I
使用次数：155
【答案】
【解析】（1）∵，∴
，
当
时，不等式可化为
，解得，所以；
当
，不等式可化为
，解得，无解；
当
时，不等式可化为
，解得
，所以
综上所述，
．
（2）因为
，
且的解集不是空集，
所以
，即的取值范围是
．
2.
在平面直角坐标系
中，倾斜角为
的直线
的参数方程为
．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点
．若点
的极坐标为
，直线经过点且与曲线相交于
，
两点，求，两点间的距离
的值．
难度：
知识点：坐标系与参数方程
使用次数：166
【答案】
【解析】（1）
； 曲线的直角坐标方程为
；
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为
．
∴
，直线
的倾斜角
．
∴直线的参数方程为
．
代入，得
．
设，两点对应的参数为
，
，则
，
∴
．
3.
已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；
（2）若
在
有两个零点，求的取值范围．
难度：
知识点：函数的应用
使用次数：106
【答案】
【解析】（1）证明：当时，函数
．则
，
令
，则
，令
，得
．
当
时，
，当
时，
∴在
单调递增，∴
．
（2）解：在
有两个零点
方程
在有两个根，
在有两个根，
即函数
与
的图像在有两个交点．
，
当
时，
，
在
递增
当
时，
，在
递增
所以最小值为
，
当
时，
，当
时，，
∴在有两个零点时，
的取值范围是
．
4.
已知
的直角顶点在
轴上，点
，
为斜边
的中点，且
平行于轴．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线
，直线与的另一个交点为
．以
为直径的圆交轴于、
，记此圆的圆心为
，
，求
的最大值．
难度：
知识点：平面向量
使用次数：118
【答案】
【解析】（1）设点的坐标为
，
则的中点的坐标为
，点的坐标为
．
，
，
由
，得
，即
，
经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．
所以轨迹的方程为
．
（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为
，
点、的坐标分别为
、
，圆心的坐标为
．
由
，可得
，
∴
，
．
∴
，∴
．
∴圆的半径
．
过圆心作
于点
，则
．
在
中，
，
当
，即垂直于轴时，
取得最小值为
，
取得最大值为
，
所以的最大值为
．
5.
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点为棱
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
为棱上一点，满足
，求二面角
的余弦值．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：152
【答案】
【解析】（1）依题意，以点为原点，以
为轴建立空间直角坐标系如图，可得
，
，
，
，
由为棱的中点，得
．
向量
，
，
故
，．
（2）
，
，
，
，
由点在棱上，设
，
，
故
，
由，得
，
因此
，
，即
，
设
为平面
的法向量，则
，即
，
不妨令
，可得
为平面的一个法向量
取平面
的法向量
，则
，
所以二面角的余弦值为
．
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全选试题
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试题总数：
23
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
7
30.43%
容易
16
69.56%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
7
30.43%
填空题
4
17.39%
选择题
12
52.17%
知识点统计
知识点
数量
占比
基本初等函数I
3
13.04%
坐标系与参数方程
1
4.34%
函数的应用
1
4.34%
平面向量
3
13.04%
点 直线 平面之间的位置
2
8.69%
统计
1
4.34%
数列
1
4.34%
空间几何体
1
4.34%
三角恒等变换
1
4.34%
不等式
1
4.34%
集合与函数的概念
2
8.69%
三角函数
1
4.34%
概率
1
4.34%
算法初步
1
4.34%
解三角形
1
4.34%
圆锥曲线与方程
1
4.34%
数系的扩充与复数的引入
1
4.34%
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