已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.
【解析】当{an}是等差数列时,
因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,
所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,
因为{an}是等差数列,
所以a2-a1=2,所以1-c=2.
所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列,
所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.
是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件?
欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件?
(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要⊆{x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
必要不充分
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时,不能推出线面垂直;由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
答案:【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”,则结论如何?
【解析】当直线lα时,不能推出l∥α,不是充分条件;由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”,所以是必要不充分条件.
设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
3或4【解析】x==2±,因为x是整数,
即2±为整数,所以为整数,且m≤4,又m∈N*,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
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