2020山西高二上学期高中数学期末考试136256
高中
整体难度：中等
2020-01-21
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共6题)
添加该题型下试题
1.
已知
为圆
:
上一动点，圆心关于
轴的对称点为
,点
分别是线段
,
上的点，且
, 
。
（1）求点
的轨迹方程；
（2）直线
与点的轨迹
只有一个公共点
，且点在第二象限，过坐标原点
且与
垂直的直线
与圆
相交于
两点，求
面积的取值范围。
难度：
知识点：平面向量
使用次数：180
【答案】
解： （1）连接
,因为，所以为的中点，因为，所以
，所以点在的垂直平分线上，所以
,因为
,所以点在以
为焦点的椭圆上，因为
，所以
，所以点的轨迹方程为：
.…………………4分
（2）由
得
…………………5分
因为直线与椭圆相切于点，所以
，即
，解得
，
即点的坐标为
，…………………7分
因为点在第二象限，所以
，所以
，
所以点的坐标为
，设直线与垂直交于点
，
则
是点到直线的距离，且直线的方程为
，
所以
，…………………10分
当且仅当
，即
时，有最大值
，所以
,即面积的取值范围为
.
2.
已知动圆
过点
，且与直线
相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程
；
（2）已知点
，
，过点的直线交曲线于点，设直线
的斜率分别为
，求证：
为定值，并求出此定值．
难度：
知识点：圆与方程
使用次数：167
【答案】
解：（1）设圆心
，
圆过点，且与直线相切，
，化简得：
，所以动圆圆心的轨迹方程为.………………4分
（2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
由
得
，
则
设
，则
…………………7分
因为，
，…………………11分
所以为定值，且定值为
.………………12分
3.
在直角坐标系
中，曲线
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
曲线的极坐标方程为
，与交于点
.
（1）写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程，并求
；
（2）设为曲线上的动点，求
面积的最大值.
难度：
知识点：坐标系与参数方程
使用次数：169
【答案】
解：（1）由题意知：
；
其中为圆心是
，半径是
的圆；…………………3分
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是
，短半轴长是3的椭圆。………6分
（2）当
时，
，设
，故
，又
，所以到
的距离
从而当
时，
取得最小值
.…………………12分
4.
已知命题p：方程
表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程
表示双曲线。
（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；
（2）若“p或q”是真命题，求实数k的取值范围。
难度：
知识点：圆锥曲线与方程
使用次数：173
【答案】
解：（1）命题p：“方程
表示焦点在x轴上的椭圆”，则
，解得
.…………………5分
（2）命题q:“方程
表示双曲线”，则
，解得
或
.
若“p或q”是真命题，则p,q至少一个是真命题，即一真一假或全为真.……………7分
则
或
或
，…………………10分
所以
或或
或
.
所以或
.…………………12分
5.
已知圆C的圆心为(1，1)，直线
与圆C相切。
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程。
难度：
知识点：圆与方程
使用次数：173
【答案】
解：（1）由题知：
，
长轴长为6，
渐近线方程是
…………………6分
（2）
且
则
故
…………………6分
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试题总数：
22
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
6
27.27%
容易
16
72.72%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
平面向量
2
9.09%
圆与方程
2
9.09%
坐标系与参数方程
2
9.09%
圆锥曲线与方程
9
40.90%
常用逻辑用语
7
31.81%
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