已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由.
解:“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.
理由如下:
当a,b,c∈R,a≠0时,
若“a-b+c=0”,则-1满足二次方程ax2+bx+c=0,即“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,
故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件,
若“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,则“a-b+c=0”,
故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件,
综上所述,“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.
设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
证明:必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根x0,则x02+2ax0+b2=0,x02+2cx0-b2=0.
两式相减,得x0=,将此式代入x02+2ax0+b2=0,
可得b2+c2=a2,故∠A=90°.
充分性:∵∠A=90°,
∴b2=a2-c2.①
将①代入方程x2+2ax+b2=0,
可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.
将①代入方程x2+2cx-b2=0,
可得x2+2cx+c2-a2=0,
即(x+c-a)(x+c+a)=0.
故两方程有公共根x=-(a+c).
∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.那么:
(1)s是q的什么条件?
(2)r是q的什么条件?
(3)p是q的什么条件?
解:将p,q,r,s的关系作图表示,如图所示.
(1)因为q⇒r⇒s,s⇒q,所以s是q的充要条件.
(2)因为r⇒s⇒q,q⇒r,所以r是q的充要条件.
(3)因为p⇒r⇒s⇒q,所以p是q的充分条件.
若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出:
(1)A∪B=R的一个充要条件;
(2)A∪B=R的一个必要不充分条件;
(3)A∪B=R的一个充分不必要条件.
解:集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},
(1)若A∪B=R,则b≥-2,
故A∪B=R的一个充要条件是b≥-2.
(2)由(1)知A∪B=R充要条件是b≥-2,
∴A∪B=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3.
(3)由(1)知A∪B=R充要条件是b≥-2,
∴A∪B=R的一个充分不必要条件b≥-1.
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中p是q的充分条件?哪些命题中p是q的必要条件?
(1)若x>2,则|x|>1;
(2)若x<3,则x2<4;
(3)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形的面积相等;
(4)若一个学生的学习成绩好,则这个学生一定是三好学生.
解:(1)若x>2,则|x|>1成立,反之当x=-2时,满足|x|>1但x>2不成立,即中p是q的充分条件.
(2)若x<3,则x2<4不一定成立,反之若x2<4,则-2<x<2,则x<3成立,即p是q的必要条件.
(3)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形的面积相等不成立,反之也不成立,即p是q的既不充分又不必要条件.
(4)若一个学生的学习成绩好,则这个学生一定是三好学生不成立,反之成立,即p是q的必要条件.
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