命题“”是全称量词命题吗?如果是,请给予证明.如果不是,请补充必要的条件,使之成为全称量词命题.
解:存在1+b<0使得命题“”不成立.
故不是全称量词命题,增加“对∀a,b∈R,且满足1+b>0,a+b≥0”,得到命题是全称量词命题.
设q(x):x2=x,试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”(至少用5种).
解:存在实数x,使x2=x成立;
至少有一个x∈R,使x2=x成立;
对有些实数x,使x2=x成立;
有一个x∈R,使x2=x成立;
对某个x∈R,使x2=x成立.
写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)可以被5整除的数,末位是0;
(2)能被3整除的数,也能被4整除;
(3)非负数的平方为正数;
(4)有的四边形没有外接圆;
(5)∃x,y∈Z,使得 x+y=3.
解:(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为有些可以被5整除的数,末位不是0,这是真命题.
(2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为存在一个能被3整除的数,不能被4整除,这是真命题.
(3)命题的否定:“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02=0,不是正数,所以该命题是真命题.
(4)命题的否定:“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命题为真,所以命题的否定为假命题.
(5)命题的否定:“∀x,y∈Z,都有x+y≠3”.
因为当x=0,y=3时,x+y=3,
所以原命题为真,命题的否定为假命题.
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)有理数都是实数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)∀x∈{x|x>0},x+>2.
解:(1)命题中隐含了全称量词“所有的”,因此命题应为“所有的有理数都是实数”,是全称量词命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且为真命题.
(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,且为假命题,当x=1时,x+=2.
下列命题:
①存在x<0,x2-2x-3=0;
②对一切实数x<0,都有|x|>x;
③∀x∈R,=x;
④已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm.
其中,所有真命题的序号为________.
①②解析:因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,所以存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故①为真命题;
②显然为真命题;
③=|x|=故③为假命题;
④当n=3,m=2时,a3=b2,故④为假命题.
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