设抛物线E:()的焦点为F,点A是E上一点,且线段AF的中点坐标为(1,1).
⑴求抛物线E的标准方程;
⑵若B,C为抛物线E上的两个动点(异于点A),且BA⊥BC,求点C的横坐标的取值范围.
2015年7月31日,国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会(简称冬奥会)在北京和张家口两个城市举办.某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性,举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了25名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图. 成绩在平均分以上(含平均分)的学生所在组别定义为甲组,成绩在平均分以下(不含平均分)的学生所在组别定义为乙组.
⑴在这25名学生中,甲组学生中有男生6人,乙组学生中有女生11人,试问有没有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关?
⑵如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求至少有1人在甲组的概率.
附表及公式:
解:⑴由茎叶图数据计算得,平均分为80,所以甲组10人,乙组15人.
作出列联表如下:
甲组 | 乙组 | 合计 | |
男生 | 6 | 4 | 10 |
女生 | 4 | 11 | 15 |
合计 | 10 | 15 | 25 |
将列联表数据代入公式计算得,
所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.
⑵由分层抽样知, 甲组应抽2人(记为A、B),
乙组应抽3人(记为).
从这5人中抽取2人的情况分别是
共有10种.
其中至少有一人在甲组的种数是7种,
分别是
故至少有1人在甲组的概率是
已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为,,.
⑴求的最小值;
⑵若,,求的值.
⑴由题意
由弦定理得,
得
因为,且,
所以,因为,所以.
所以
.当且仅当时取等号.
故b的最小值为.
⑵由正弦定理知,,
由,得,
整理可得,由,所以,
故,所以.
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