2020河南高二下学期高中数学月考试卷137680
高中
整体难度：中等
2020-09-28
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共5题)
添加该题型下试题
1.
设
.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围.
难度：
知识点：集合与函数的概念
使用次数：161
【答案】
详解（1）
，
①当
时，即
时，
，
在
上是减函数；
②当
时，即
时，
由
，解得
，
当
时，，当
时，
，
在
单调递减，在
上单调递增，
综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间；
时，函数在单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，若时，
在
无最小值，
所以f(x)>0不恒成立；
若时，
①当
时，
，所以函数在上单调递增，
所以
，即当x>0时，f(x)>0恒成立；
②当
时，
，
函数在
递减，在上递增，
所以当时
，
只需
即可，令
，
，
则
，所以
在
上是增函数，故
，
即无解，所以时，f(x)>0不恒成立。
综上，k的取值范围为.
2.
某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设
表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
| 年入流量 |
|
|
|
| 发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
难度：
知识点：统计
使用次数：163
【答案】
解析：（1）依题意，
， 由二项分布
.
所以的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.729 | 0.243 | 0.027 | 0.001 |
.
（2）记水电站的总利润为
（单位：万元），
①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润
，
；
②若安装2台发电机，
当
时，只一台发电机运行，此时
，
，
当
时，2台发电机运行，此时
，
，
.
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时
，
，
当
时，2台发电机运行，此时
，
，
当
时，3台发电机运行，此时
，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.
3.
中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，现人社部进行调研.从网上年龄在15
65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
| 年龄 |
|
|
|
|
|
| 支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
| 45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
| 支持 | |||
| 不支持 | |||
| 总计 |
（1）由以上统计数据填
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
难度：
知识点：概率
使用次数：195
【答案】
解：1）由直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故列联表如下：
| 45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
| 支持 | 35 | 45 | 80 |
| 不支持 | 15 | 5 | 20 |
| 总计 | 50 | 50 | 100 |
由列联表可得
，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．
（2）①从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，
则
即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为
．
②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．由题意得的可能取值为0,1,2.
.
故随机变量的分布列为：
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
所以
.
4.
已知函数
，过曲线
上的点
处的切线方程为
．
（1）若函数
在
处有极值，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间
上的最大值．
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：176
【答案】
解（1）依题意，
，且
，
，
∴
，解得
，
，
． ∴
．
（2）由（1）知
，令
，得
或．
∴当
或
时，为增函数；
当
时，为减函数．
∴在时取极大值，
．又∵，
∴函数在区间上的最大值为13．
5.
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为
为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为
.
（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
（2）若过点
（极坐标）且倾斜角为
的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求
的值．
难度：
知识点：坐标系与参数方程
使用次数：108
【答案】
解（1）由题意，曲线C的参数方程为为参数），
即
为参数）平方相加，可得曲线C的普通方程
，
将
代入曲线C的普通方程
可得曲线C的极坐标方程为
，
又由曲线D的极坐标方程为，
所以
，
又由
所以
，
所以曲线C的极坐标方程为，
曲线D的直角坐标方程为
.
（2）由点，则
，即点A（2，2）．
因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，
所以直线l的参数方程为
为参数），代入，
可得
， 设M，N对应的参数分别为
，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
所以
.
二、综合题 (共1题)
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试题总数：
22
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
5
22.72%
容易
17
77.27%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
5
22.72%
综合题
1
4.54%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
集合与函数的概念
1
4.54%
统计
3
13.63%
导数及其应用
5
22.72%
概率
2
9.09%
坐标系与参数方程
1
4.54%
计数原理
3
13.63%
数系的扩充与复数的引入
2
9.09%
基本初等函数I
2
9.09%
推理与证明
1
4.54%
空间几何体
1
4.54%
圆锥曲线与方程
1
4.54%
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