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2020江苏高一上学期苏教版高中数学期末考试137813
2020江苏高一上学期苏教版高中数学期末考试137813
高中
整体难度:中等
2020-10-15
题号
评分
一、解答题 (共6题)
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1.

已知

⑴求的解析式;

⑵求时,的值域;

⑶设,若对任意的,总有恒成立,求实数的取值范围.

难度:
知识点:基本初等函数I
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【答案】

(1)(2)(3)

【解析】

试题分析:(1)由题已知,求,可利用换元法,即:,将条件中的,换为得:,求出

(2)由(1)得,可继续换元,

得:,需对进行分类讨论,而化为熟悉的二次函数的

值域问题解决.

(3)由恒成立,可转化为满足,则需对的单调性进行分析,由,采用换元法,得:

,由,借助函数的单调性,对进行分类讨论,分别得出的取值范围,取各种情况的并集,得出结果.

试题解析:⑴设,则,所以

所以

⑵设,则

时,的值域为

时,

的值域为

上单调递增,在上单调递减,

的值域为

综上,当的值域为,当的值域为

⑶因为对任意总有

所以满足

,则

在区间单调递增

所以,即,所以(舍)

时,,不符合题意

时, 若时,在区间单调递增

所以,则

递增,在递减

所以,得

在区间单调递减

所以,即,得

综上所述:.

考点:1.换元法求函数解析式;  2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想.

3.    恒成立中的函数思想及分类思想.

2.

已知向量,函数的最小正周期为

(1)求的单调增区间;

(2)方程;在上有且只有一个解,求实数n的取值范围;

(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.

难度:
知识点:平面向量
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【答案】

(1)(2)(3)存在且m取值范围为

【解析】

(1)函数的最小正周期为.可得,即可求解的单调增区间

(2)根据x上求解的值域,即可求解实数n的取值范围

(3)由题意,求解的最小值,利用换元法求解的最小值,即可求解m的范围

【详解】(1)函数fx1=2sin2(ωxcos(2ωx)﹣1

=sin(2ωxcos(2ωx

=2sin(2ωx

fx)的最小正周期为π.ω>0

∴ω=1.

那么fx)的解析式fx)=2sin(2x

2xkZ

得:x

fx)的单调增区间为[],kZ

(2)方程fx)﹣2n+1=0;[0,]上有且只有一个解,

转化为函数yfx)+1与函数y=2n只有一个交点.

x在[0,]上,

(2x

那么函数yfx)+1=2sin(2x)+1的值域为[,3],结合图象可知

函数yfx)+1与函数y=2n只有一个交点.

那么2n<1或2n=3,

可得n

(3)由(1)可知fx)=2sin(2x

fx2min=﹣2.

实数m满足对任意x1∈[﹣1,1],都存在x2R

使得成立.

成立

t,那么

x1∈[﹣1,1],

t[],

可得t2+mt+5>0在t[]上成立.

gt)=t2+mt+5>0,

其对称轴t

t[]上,

∴①当时,即m≥3时,gtming,解得

②当,即﹣3<m<3时,gtming0,解得﹣3<m<3;

③当,即m≤﹣3时,gtming0,解得m≤﹣3;

综上可得,存在m,可知m的取值范围是().

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用.属于难题

3.

某地为响应关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形的半径为200米,圆心角,点上,点上,点在弧上,设.

(1)若矩形是正方形,求的值;

(2)为方便市民观赏绿地景观,从点处向修建两条观赏通道(宽度不计),使,其中而建,为让市民有更多时间观赏,希望最长,试问:此时点应在何处?说明你的理由.

 

难度:
知识点:解三角形
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【答案】

(1)矩形是正方形时,(2)当的中点时,最大

【解析】

试题分析:(1)因为四边形是扇形的内接正方形,所以,注意到,代入前者就可以求出. (2)由题设可由,利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式,从而求出的最大值.

 解析:(1)在中, ,在中,  所以,因为矩形是正方形,,所以,所以,所以 .   

(2)因为所以              .所以, 即时,最大,此时的中点. 

答:(1)矩形正方形时,

(2)当的中点时,最大.   

 

4.

已知

)求的值; ()求的值.

难度:
知识点:三角恒等变换
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【答案】

(Ⅰ) cos(Ⅱ)

【解析】

)由二倍角公式求解即可;()先求sincos),再配凑角sin=sin()展开求解即可

【详解】( ∵cos

=,

∴ cos

)由(Ⅰ)知:sin

cos=

sin=sin()sin()coscos()sin

××

【点睛】本题考查同角的基本关系式,考查两角的正弦公式,考查角的变换的方法,考察运算能力,属于中档题和易错题.

5.

已知向量满足

(1)求的值;

(2)求向量夹角的余弦值.

难度:
知识点:平面向量
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【答案】

(1);(2)

【解析】

(1)将两边平方,化简后可求得的值.(2)利用(1)的结论,求得以及的值,代入夹角公式求得夹角的余弦值.

【详解】(1)因为

所以

(2)因为

所以.

 

.

【点睛】本小题考查向量的运算,考查向量模的运算中常用的方法,即平方的方法,还考查了两个向量的夹角公式,属于中档题.

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试题总数:
22
总体难度:
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
7
31.81%
容易
14
63.63%
基础
1
4.54%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
基本初等函数I
5
22.72%
平面向量
4
18.18%
解三角形
1
4.54%
三角恒等变换
1
4.54%
集合与函数的概念
3
13.63%
三角函数
6
27.27%
算法初步
1
4.54%
不等式
1
4.54%
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