已知,.
⑴求的解析式;
⑵求时,的值域;
⑶设,若对任意的,总有恒成立,求实数的取值范围.
(1)(2)(3)
【解析】
试题分析:(1)由题已知,求,可利用换元法,即:,,将条件中的,换为得:,求出
(2)由(1)得,可继续换元,
得:,需对进行分类讨论,而化为熟悉的二次函数的
值域问题解决.
(3)由恒成立,可转化为在满足,则需对的单调性进行分析,由,采用换元法,得:
,由,借助函数的单调性,对进行分类讨论,分别得出的取值范围,取各种情况的并集,得出结果.
试题解析:⑴设,则,所以,
所以;
⑵设,则
当时,,的值域为
当时,
若,,的值域为
若,,在上单调递增,在上单调递减,
的值域为
综上,当时的值域为,当时的值域为;
⑶因为对任意总有
所以在满足
设,则,
当即时在区间单调递增
所以,即,所以(舍)
当时,,不符合题意
当时, 若即时,在区间单调递增
所以,则
若即时在递增,在递减
所以,得
若即时在区间单调递减
所以,即,得
综上所述:.
考点:1.换元法求函数解析式; 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想.
3. 恒成立中的函数思想及分类思想.
已知向量,,,,函数,的最小正周期为.
(1)求的单调增区间;
(2)方程;在上有且只有一个解,求实数n的取值范围;
(3)是否存在实数m满足对任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.
(1),(2)或(3)存在,且m取值范围为
【解析】
(1)函数,的最小正周期为.可得,即可求解的单调增区间.
(2)根据x在上求解的值域,即可求解实数n的取值范围;
(3)由题意,求解的最小值,利用换元法求解的最小值,即可求解m的范围.
【详解】(1)函数f(x)•1=2sin2(ωx)cos(2ωx)﹣1
=sin(2ωx)cos(2ωx)
=2sin(2ωx)
∵f(x)的最小正周期为π.ω>0
∴,
∴ω=1.
那么f(x)的解析式f(x)=2sin(2x)
令2x,k∈Z
得:x
∴f(x)的单调增区间为[,],k∈Z.
(2)方程f(x)﹣2n+1=0;[0,]上有且只有一个解,
转化为函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点.
∵x在[0,]上,
∴(2x)
那么函数y=f(x)+1=2sin(2x)+1的值域为[,3],结合图象可知
函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点.
那么2n<1或2n=3,
可得或n=.
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x)
∴f(x2)min=﹣2.
实数m满足对任意x1∈[﹣1,1],都存在x2∈R,
使得成立.
即成立
令
设t,那么
∵x1∈[﹣1,1],
∴t∈[,],
可得t2+mt+5>0在t∈[,]上成立.
令g(t)=t2+mt+5>0,
其对称轴t
∵t∈[,]上,
∴①当时,即m≥3时,g(t)min=g(),解得;
②当,即﹣3<m<3时,g(t)min=g()0,解得﹣3<m<3;
③当,即m≤﹣3时,g(t)min=g()0,解得m≤﹣3;
综上可得,存在m,可知m的取值范围是(,).
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用.属于难题.
某地为响应关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形的半径为200米,圆心角,点在上,点在上,点在弧上,设.
(1)若矩形是正方形,求的值;
(2)为方便市民观赏绿地景观,从点处向修建两条观赏通道和(宽度不计),使,,其中依而建,为让市民有更多时间观赏,希望最长,试问:此时点应在何处?说明你的理由.
(1)矩形是正方形时,(2)当是的中点时,最大
【解析】
试题分析:(1)因为四边形是扇形的内接正方形,所以,注意到,代入前者就可以求出. (2)由题设可由,,利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式,从而求出的最大值.
解析:(1)在中, ,,在中, , 所以,因为矩形是正方形,,所以,所以,所以 .
(2)因为所以, ,.所以, 即时,最大,此时是的中点.
答:(1)矩形正方形时,;
(2)当是的中点时,最大.
已知.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
(Ⅰ) cos(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由二倍角公式求解即可;(Ⅱ)先求sin,cos(),再配凑角sin=sin()展开求解即可
【详解】(Ⅰ) ∵cos
=,又 ∵
∴ cos
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:sin=
由、得()
cos()=-
sin=sin()=sin()cos-cos()sin
=×-×
【点睛】本题考查同角的基本关系式,考查两角的正弦公式,考查角的变换的方法,考察运算能力,属于中档题和易错题.
已知向量,满足,,.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
(1);(2)
【解析】
(1)将两边平方,化简后可求得的值.(2)利用(1)的结论,求得以及的值,代入夹角公式求得与夹角的余弦值.
【详解】(1)因为,
所以
即;
(2)因为,
所以.
.
【点睛】本小题考查向量的运算,考查向量模的运算中常用的方法,即平方的方法,还考查了两个向量的夹角公式,属于中档题.
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