如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(1)由题意得到离心率,再结合距离公式即可得:,所求椭圆的方程为:.(2)易得直线的方程:,用点差法得到设直线的方程为:,与椭圆方程联立得,由得到的取值范围;由弦长公式,点到直线的距离表示出面积,即可求出直线的方程.
试题解析:(1)由题:;
左焦点到点的距离为:.‚
由‚可解得:.
所求椭圆的方程为:.
(2)易得直线的方程:,设.其中.
、在椭圆上,
设直线的方程为:,
代入椭圆:.
显然.
且.
点到直线的距离为:.
当且仅当时,三角形的面积最大,此时直线的方程.
考点:1、椭圆的性质;2、中点弦问题;3、最值问题.
【技巧点晴】本题考查是椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识,属于难题;圆锥曲线中有关三角形面积问题,解决方法一般有两种:第一种是利用公式求出弦长,表示出点到弦长所在直线的距离,用求面积;第二种是以轴(或者轴)为界,把三角形分成两部分,利用其中为三角形被轴(或者轴)解得的线段长度.
已知函数,.
(1)求函数图像在点处的切线方程;
(2)若不等式对于任意的均成立,求实数的取值范围.
(1);(2).
【解析】
(1)求,求函数在点处的切线的斜率,点斜式写出切线方程;
(2)对于任意的,,由不等式,得,求的取值范围.令,求导,判断的单调性,即可求得.
【详解】(1)函数的定义域为,,
函数图像在点处切线方程为.
(2)对于任意的,,由不等式,得.
令,
,在上单调递减,,
即,,
.
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查参变量分离求参数的取值范围,属于较难的题目.
某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
(1);(2),;(3).
【解析】
【详解】试题分析:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得;(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5可得;(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数
试题解析:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1得:
x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是=230. ------------- 5分
因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,
设中位数为a,
由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5
得:a=224,所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25户,
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15户,
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100=10户,
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100=5户, -------------10分
抽取比例==,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户.-- 12分
考点:频率分布直方图及分层抽样
如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理证明平面,即证;
(2)以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,求平面的法向量,用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求平面的法向量,用向量的方法求二面角的余弦值.
【详解】(1)平面,平面,.
底面是矩形,,又,
平面,平面,
.
(2)以原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示
则,
,
设平面的法向量,则
,即,令,则,.
设直线与平面所成的角为,则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
(3).
设平面的法向量,则
,即,令,则..
又平面的法向量.
设二面角的大小为,则为锐角,
,
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线线垂直,考查用向量的方法求线面角和面面角,考查学生的运算能力,属于较难的题目.
已知动圆过定点,且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的斜率分别为,且,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标
(1);(2)证明见解析,过定点.
【解析】
(1)由题意可得,动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义可求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)设,则.由题意知直线的斜率存在,从而设方程为,将与联立消去,得,由韦达定理得,代入得,代入直线方程即得.
【详解】(1)设为动圆圆心,记为,过点作直线的垂线,垂足为,
由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,
由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,
所以轨迹方程为;
(2)如图,设,由题意得,
由题意知直线的斜率存在,从而设AB方程为,显然,
将与联立消去,得
由韦达定理知
由,即
将①式代入上式整理化简可得:,
所以AB方程为过定点.
【点睛】本题考查抛物线的定义和与抛物线有关的定点问题,考查学生的运算能力,属于较难的题目.
本卷还有17题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户jiayuyoumeng分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。