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2020安徽高二上学期高中数学期末考试121412
2020安徽高二上学期高中数学期末考试121412
高中
整体难度:容易
2020-11-05
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一、解答题 (共6题)
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1.

如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.

难度:
知识点:圆锥曲线与方程
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【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】

试题分析:(1)由题意得到离心率,再结合距离公式即可得:所求椭圆的方程为:.(2)易得直线的方程:,用点差法得到设直线的方程为,与椭圆方程联立得,由得到的取值范围;由弦长公式,点到直线的距离表示出面积,即可求出直线的方程.

试题解析:(1)由题:; 

左焦点到点的距离为:.‚

由‚可解得:.

所求椭圆的方程为:.

(2)易得直线的方程:,设.其中.

在椭圆上,

设直线的方程为

代入椭圆:.

显然.

.

到直线的距离为:.

当且仅当时,三角形的面积最大,此时直线的方程.

考点:1、椭圆的性质;2、中点弦问题;3、最值问题.

【技巧点晴】本题考查是椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识,属于难题;圆锥曲线中有关三角形面积问题,解决方法一般有两种:第一种是利用公式求出弦长,表示出点到弦长所在直线的距离,用求面积;第二种是以轴(或者轴)为界,把三角形分成两部分,利用其中为三角形被轴(或者轴)解得的线段长度.

2.

已知函数

(1)求函数图像在点处的切线方程;

(2)若不等式对于任意的均成立,求实数的取值范围.

难度:
知识点:导数及其应用
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【答案】

(1);(2).

【解析】

1)求,求函数在点处的切线的斜率,点斜式写出切线方程;

2)对于任意的,由不等式,得,求的取值范围.,求导,判断的单调性,即可求得.

【详解】(1)函数的定义域为

函数图像在点切线方程为.

2对于任意的,由不等式,得.

上单调递减,

.

所以实数的取值范围为

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查参变量分离求参数的取值范围,属于较难的题目.

3.

某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中的值;

(2)求月平均用电量的众数和中位数;

(3)在月平均用电量为的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?

难度:
知识点:统计
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【答案】

(1);(2);(3)

【解析】

【详解】试题分析:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025×20=1,解方程可得;(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095+0.011×20+0.0125×a-220=0.5可得;(3)可得各段的用户分别为2515105,可得抽取比例,可得要抽取的户数

试题解析:(1)由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)×201得:

x0.0075,所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3

(2)月平均用电量的众数是230. ------------- 5

因为(0.0020.00950.011)×200.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,

设中位数为a

(0.0020.00950.011)×200.0125×(a220)0.5

得:a224,所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8

(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×10025户,

月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×10015户,

月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×10010户,

月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×1005户, -------------10

抽取比例=,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×5户.-- 12

考点:频率分布直方图及分层抽样

4.

如图,在四棱锥中,底面是矩形,的中点,平面,且

(1)求证:

(2)求与平面所成角的正弦值;

(3)求二面角的余弦值.

难度:
知识点:点 直线 平面之间的位置
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【答案】

1)证明见解析;(2;(3.

【解析】

1)根据线面垂直的判定定理证明平面,即证

2)以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,求平面的法向量,用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值;

3)求平面的法向量,用向量的方法求二面角的余弦值.

【详解】(1平面平面.

底面是矩形,,又

平面平面

.

2)以原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示

设平面的法向量,则

,即,令,则.

设直线与平面所成的角为,则

.

所以与平面所成角的正弦值为.

3.

设平面的法向量,则

,即,令,则..

又平面的法向量.

设二面角的大小为,则为锐角,

所以二面角的余弦值为

【点睛】本题考查线线垂直,考查用向量的方法求线面角和面面角,考查学生的运算能力,属于较难的题目.

5.

已知动圆过定点,且与直线相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点,直线的斜率分别为,且,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标

难度:
知识点:圆与方程
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【答案】

(1);(2)证明见解析,过定点.

【解析】

1)由题意可得,动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义可求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)设,则.由题意知直线的斜率存在,从而设方程为,将联立消去,得,由韦达定理得,代入代入直线方程即得.

【详解】(1)设为动圆圆心,记为,过点作直线的垂线,垂足为

由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,

由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,

所以轨迹方程为

(2)如图,设,由题意得

由题意知直线的斜率存在,从而设AB方程为,显然

联立消去,得

由韦达定理知

,即

将①式代入上式整理化简可得:

所以AB方程为过定点.

【点睛】本题考查抛物线的定义和与抛物线有关的定点问题,考查学生的运算能力,属于较难的题目.

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试题总数:
22
总体难度:
容易
难度统计
难度系数
数量
占比
容易
17
77.27%
中等
1
4.54%
基础
4
18.18%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
圆锥曲线与方程
4
18.18%
导数及其应用
1
4.54%
统计
4
18.18%
点 直线 平面之间的位置
1
4.54%
圆与方程
2
9.09%
不等式
1
4.54%
基本初等函数I
2
9.09%
概率
3
13.63%
空间中的向量与立体几何
1
4.54%
算法初步
1
4.54%
常用逻辑用语
2
9.09%
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