高中数学2020年年末周练知识点——点直线平面之间的位置训练题（一）【含详解】
高中
整体难度：中等
2020-12-28
题号
一
二
三
四
五
评分
一、选择题 (共25题)
添加该题型下试题
1.
已知直三棱柱
的所有棱长都相等，
为
的中点，则
与
所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：168
【答案】
D
【分析】
取
的中点
，连接
，则
,所以异面直线
与
所成角就是直线与所成角，在
中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取的中点，连接，则,
所以异面直线与所成角就是直线与所成角，
设正三棱柱的各棱长为
,则
，
设直线与所成角为
，
在中，由余弦定理可得
，
即异面直线与所成角的余弦值为
，故选D．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2.
设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：160
【答案】
B
【分析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】
由面面平行的判定定理知：
内两条相交直线都与
平行是
的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若
，则”此类的错误．
3.
如图，点
为正方形
的中心，
为正三角形，平面
平面
是线段
的中点，则（ ）
A．
，且直线
是相交直线
B．
，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：145
【答案】
B
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作
于
，连接
，过
作
于
．
连
，
平面
平面
．
平面
，
平面，
平面，
与
均为直角三角形．设正方形边长为2，易知
，
．
，故选B．
【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．
4.
在正方体
中，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：140
【答案】
C
【分析】
利用正方体
中，
，将问题转化为求共面直线
与
所成角的正切值，在
中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与
所成角为
，
设正方体边长为
，则由
为棱
的中点，可得
，所以
，
则
.故选C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
5.
已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C．
D．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：172
【答案】
C
【解析】
如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为
，
易得
，因此
，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
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试题总数：
100
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
68
68.0%
基础
13
13.0%
很难
2
2.0%
容易
8
8.0%
偏难
9
9.0%
题型统计
大题类型
数量
占比
选择题
25
25.0%
解答题
71
71.0%
填空题
4
4.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
点 直线 平面之间的位置
78
78.0%
常用逻辑用语
3
3.0%
空间中的向量与立体几何
14
14.00%
空间几何体
5
5.0%
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