进货次数问题探讨

题目 某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很有观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为 元（一年按360天计算）。每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数。

解：设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则

如果每年进货 次，则每次进货 个，用完这些元件的时间是 年。进货后，因连续作业组装，一天后保管数量只有 个（ 为一天所需元件），两天后只有 个，……，因此 年中 个元件的保管费可按平均数计算，即相当于 个保管了 年，每个元件保管 须 元，做这 年中 个元件的保管费为

每进货一次，花保管费 元，一共 次，故

，

，

所以

当且仅当 ，即 时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

说明 这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯“中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993．11），求解的关键数学知识是“ 的极小值是 ”