高中数学 复数的向量表示 教案

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高中数学 复数的向量表示 教案

不错,我顶


  • 教学目标

      (1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
      (2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
      (3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
      (4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.

     

    教学建议

    (一)教材分析

    1、知识结构

      本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.

    2、重点、难点分析

      (1)正确复数的实部与虚部

      对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

      说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

      (2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系

      分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:

    注意分清复数分类中的界限:

      ①设 ,则 为实数

      ② 为虚数

      ③

      ④ 为纯虚数

    (3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:

      ①化为复数的标准形式

           ②实部、虚部中的字母为实数,即

    (4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:

      ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.

      ②复数 用复平面内的点Z( )表示.复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度.

      ③当 时,对任何 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时, 是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.

      由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

      ④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写.要学生注意.

    (5)关于共轭复数的概念

      设 ,则 ,即 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 是共轭复数).

      教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当 时, 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

    (6)复数能否比较大小

      教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:

      ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.

      ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:

      (i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;

      (ii)如果a<b,b<c,那么a<c;

      (iii)如果a<b,那么a+c<b+c;

      (iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)

    (二)教法建议

      1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系.

      2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.

      3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.

     

    复数的有关概念

    教学目标

      1.了解复数的实部,虚部;

      2.掌握复数相等的意义;

      3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.

    教学重点

      复数的概念,复数相等的充要条件.

    教学难点

      用复平面内的点表示复数M.

    教学用具:直尺

    课时安排:1课时

    教学过程

    一、复习提问:

      1.复数的定义。

      2.虚数单位。

    二、讲授新课

      1.复数的实部和虚部:

      复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

      2.复数相等

      如果两个复数 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。

      即: 的充要条件是

      例如:   的充要条件是

      例1: 已知   其中 ,求xy.

      解:根据复数相等的意义,得方程组:

                 

      ∴

      例2:m是什么实数时,复数 ,

      (1)    是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.

      解:

      (1) ∵ 时,z是实数,

           ∴ ,或 .

      (2)    ∵ 时,z是虚数,

       ∴ ,且

      (3)    ∵ 时,

      z是纯虚数. ∴

      3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数

    复平面的定义

      建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.

      复数 可用点 来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.

      4.复数的几何意义:

      复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.

      5.共轭复数

      (1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)

      (2)复数z的共轭复数用 表示.若 ,则:

      (3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.

      (4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称.

    三、练习   1,2,3,4.

    四、小结:

      1.在理解复数的有关概念时应注意:

      (1)明确什么是复数的实部与虚部;

      (2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;

      (3)弄清复平面与复数的几何意义;

      (4)两个复数不全是实数就不能比较大小。

      2.复数集与复平面上的点注意事项:

      (1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点Z(ab)中的Z,书写时大写。

      (2)复平面内的点Z的坐标是(ab),而不是(abi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i

      (3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。

      (4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应:

    五、作业   1,2,3,4,

    六、板书设计:

    §8,2 复数的有关概念

    1定义:  例1    3定义:   4几何意义:

    ……     ……   ……        ……

    2定义:  例2                 5共轭复数:

    ……     ……   ……        ……