已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与a=(3,-1)共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。
(Ⅰ)解:设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0),
则直线AB的方程为y=x-c,
代入=1,化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.
令A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=.
由=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与a共线,得3(y1+y2)+(x1+x2)=0。
又y1=x1-c,y2=x2-c, ∴3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, ∴x1+x2=.
即 所以a2=3b2.
∴ c=,故离心率e=
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知a2=3b2,所以椭圆=1可化为x2+3y2=3b2.
设=(x,y),由已知得
(x,y)=(x1,y1)+μ(x2,y2),
x= x1+μx2,
∴ y=y1+μy2
∴M(x,y)在椭圆上,∴(x1+μx2)2+3(y1+μy2)2=3b2.
即 2(x+3y)+μ2(x+3y)+2μ(x1x2+3y1y2)=3b2. ①
由(Ⅰ)知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.
∴x1x2=
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2
=c2-c2+3c2
=0.
又x+3y=3b2,x+3y=3b2,代入①得2+μ2=1。
故2+μ2为定值,定值为1.
给出下列曲线:
①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中与直线r=-2x-3有交点的所有曲线是
(A).①③ (B).②④ (C).①②③ (D).②③④