如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,
∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上,=λ .若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
解:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.
又AEÌ平面ABCD,ADÌ平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.
在菱形ABCD中∠ABC=,则△ABC是等边三角形.
因为E是BC中点,所以BC⊥AE.
因为BC∥AD,所以AE⊥AD.
以为正交基底建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),
A1(0,0,2),E(,0,0),F(,,1).
取y0=2,则z0=-1,
则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1). ……………… 8分
由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.
……………… 10分
点的平移公式:
;
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F′上的对应点为P′(x′,y′),且的坐标为(h,k)。
“按向量平移”的几个结论:
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x+h,y+k);
(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的函数解析式为y=f(x-h)+k;
(3)图象C′按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C′的函数解析式为y=f(x+h)-k;
(4)曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的方程为f(x-h,y-k)=0;
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)。
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