已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足
．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
答案
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
【分析】（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用
，化简可得动点P的轨迹E的方程；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所在直线的方程为
，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则
，
，
∵
，∴
，化简得
，
∴动点P的轨迹E的方程为
（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣．
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为
，由
求得交点M
，（另一交点H（0，1））
∴
，
用
代替上式中的k，得
，
由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，
∴k3﹣4k2+4k﹣1=0⇒（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，
解得：k=1或
，
当HM斜率k=1时，HN斜率﹣1；当HM斜率
时，HN斜率
；当HM斜率
时，HN斜率
，
综上述，符合条件的三角形有3个．
B
C
D
