如图,且AD=2BC,,且EG=AD,且CD=2FG,,DA=DC=DG=2. (I)若M为CF

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  • 难度: 使用次数:3 入库时间:2018-06-10

        如图,AD=2BC,EG=ADCD=2FGDA=DC=DG=2.

    I)若MCF的中点,NEG的中点,求证:

    II)求二面角的正弦值;

    III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

    答案


    依题意,可以建立以D为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D000),A200),B120),C020),E202),F012),G002),M01),N102).

    (Ⅰ)证明:依题意=020),=202).设n0=(xyz)为平面CDE的法向量,则 不妨令z=–1,可得n0=10–1).又=11),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE

    )解:依题意,可得=–100),=0–12).

    n=xyz)为平面BCE的法向量,则 不妨令z=1,可得n=011).

    m=xyz)为平面BCF的法向量,则 不妨令z=1,可得m=021).

    因此有cos<mn>=,于是sin<mn>=

    所以,二面角EBCF的正弦值为

    (Ⅲ)解:设线段DP的长为hh∈[02]),则点P的坐标为(00h),可得

    易知,=020)为平面ADGE的一个法向量,故

    由题意,可得=sin60°=,解得h=02].

    所以线段的长为.


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