如图,PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O (Ⅰ)求证:O

高中数学 COOCO.因你而专业 !
套卷教案课件下载new 试题搜索答案
你好!请登陆注册
  • 难度: 使用次数:21 入库时间:2018-07-27

    如图,PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直,AB=PA=2QC=2AC∩BD=O

    )求证:OP⊥平面QBD;

    )求二面角P-BQ-D平面角的余弦值;

       )过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E,求的值.

    答案


    解:()连接OQ,由题知PA∥QC,∴PAQC共面

    BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A

    ∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP.  

    由题中数据得PA=2AO=OC=,OP=,QC=1OQ=

    ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,

    ∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ

    (或计算PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90°OP⊥OQ------------------3

    ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O∴OP⊥平面QBD--------------------------4

    )如图,以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系,

    各点坐标分别为A(0,0,0) B(2,0,0) C2,2,0),D0,2,0,P0,0,2,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5

    =(-2,0,2), =0,2,1,设平面PBQ的法向量

    ,得

    不妨设--------------------------------------------------6

    由()知平面BDQ的法向量---------------------------------7

    >=

    二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9

    )设,∴,

    ∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。

    ,-------------------------------------------

    . ∴--------------------------------------------------13

    (方法二)在平面PAD中,分别过D点、P点作直线PAAD的平行线相交于点M

    连结MC交直线DQ与点N在平面PQD中过点N作直线NE∥PQPQ于点E -------11

    由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N

    平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12

    ∵CQ=1MD=PA=2

    ∵NE∥PQ, ------------------------------------------------------------13


如果没有找到你要的试题答案和解析,请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%