如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=,
∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.
(1)求AD的长;
(2)求△CBD的面积.
.解(1)由已知S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2,可得sin∠ABD=,又∠BCD=2∠ABD,所以∠ABD∈所以cos∠ABD=.
在△ABD中,由余弦定理AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,可得AD2=5,所以AD=.
(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,所以sin∠CBD=cos∠ABD=.
又∠BCD=2∠ABD,所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,
∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,
所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD.
在△CBD中,由正弦定理
所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.
解三角形定义:
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
主要方法:
正弦定理、余弦定理。
解三角形常用方法:
1.已知一边和两角解三角形:已知一边和两角(设为b、A、B),解三角形的步骤:
2.已知两边及其中一边的对角解三角形:已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角时,首先必须判断是否有解,例如在中,已知 ,问题就无解。如果有解,是一解,还是两解。解得个数讨论见下表:
3.已知两边及其夹角解三角形:已知两边及其夹角(设为a,b,C),解三角形的步骤:
4.已知三边解三角形:已知三边a,b,c,解三角形的步骤:
①利用余弦定理求出一个角;
②由正弦定理及A +B+C=π,求其他两角.
5.三角形形状的判定:
判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别,依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两条途径:
①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数的恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B +C=π这个结论,在以上两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
6.解斜三角形应用题的一般思路:
(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等;
(2)根据题意画出图形;
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要算法简练,计算准确,最后作答,
用流程图可表示为:
利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时,要注意三角形三内角的一些三角函数关系:
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