如图,在三棱锥P—ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,PA⊥PC.点E,F,O分别为线段PA,PB,AC的中点,点G是线段CO的中点.
(Ⅰ)求证:FG∥平面EBO;
(Ⅱ)求证:PA⊥BE.
解:
证明:(Ⅰ)证法一:连AF交BE于Q,连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,
所以=2.
又Q是△PAB的重心.
于是=2=,
所以FG∥QO.
因为FG∥平面EBO,QO⊂平面EBO,
所以FG∥平面EBO.………………………………………………………………………6分
证法二:取中点,连接.
因为F为边PB的中点,点G是线段CO的中点,
所以∥,∥.
又E、O分别为边PA、PC的中点,
所以∥,
所以∥.
又因为平面,平面,
所以∥平面,∥平面.
又,
所以平面∥平面.
因为平面,
所以∥平面.………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由AB=BC,得△ACB为等腰三角形,
因为O为边AC的中点,
所以BO⊥AC,
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC,
所以BO⊥面PAC.
因为PA⊂平面PAC,
故 BO⊥PA.
在△PAC内,O,E为所在边的中点,
故 OE∥PC,
且PA⊥PC,
∴OE⊥PA,
又BO∩OE=O,
所以PA⊥平面EBO,EB⊂平面EBO,
所以PA⊥BE. .………………………………………………………………………………12分
平面的概念:
平面是无限伸展的;
平面的表示:
通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
平面的画法:
①通常把水平的平面画成锐角为45。,横边长等于其邻边长2倍的平行四边形,如图1所示.②如果一个平面被另一个平面挡住,则被遮挡的部分用虚线画出来,如图2所示,
平面的性质:
(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1:。
应用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
立体几何问题的重要方法:
根据平面的基本性质,把空间图形转化为平面图形来解决,这是立体几何中解决问题的重要思想方法.通常要解决以下四类问题:
(l)证明空间三点共线问题:证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两个点在某两个平面上,再证明第三个点既在第一个平面内,又在第二个平面内,当然必在两平面的交线上.
(2)证明空间三线共点问题:证明这类问题一般根据公理l和公理3,把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线,然后证明两条直线的交点在此直线上.
(3)证明空间点共面问题:可根据公理2,先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内.
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论,先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证其余直线在这个平面内,或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面,再一一确定这些平面重合.
基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面,证明此类问题,常用的方法有:
①纳入法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内.
②同一法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的平面内,……,最后证明这些平面重合.
③反证法:可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.
点线面位置关系的符号语言如下表:
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