已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题,然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为,
由于,故,
设内切圆半径为,则:
,
解得:,其体积:.
故答案为:.
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
球的体积公式:
V球=;
球的表面积:
S球面=4πR2
求球的表面积和体积的关键:
由球的表面积和体积公式可知,求球的表面积和体积的关键是求出半径。
常用结论:
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.
2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的4倍.
3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是.
4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是.
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