已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点
在上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
答案
（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）因为，可得
，
，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作
轴垂线，交点为
，设与轴交点为
，可得
，可求得点坐标，求出直线
的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.
【详解】（1）
，，
根据离心率
，
解得
或
(舍)，
的方程为：
，
即；
（2）点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，
，
又
，
，
，
根据三角形全等条件“
”，
可得：，
，
，
，
设点为
，
可得点纵坐标为
，将其代入，
可得：
，
解得：
或
，
点为
或
，
①当点为时，
故
，
，
，
可得：点为
，
画出图象，如图
,
，
可求得直线的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
；
②当点为时，
故
，
，
，
可得：点为
，
画出图象，如图
，
可求得直线的直线方程为：
，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：
，
根据两点间距离公式可得：
，
面积为：
，
综上所述，面积为：.
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
B
C
D
