已知椭圆C1:(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.
(1);(2):,: .
【分析】
(1)根据题意求出的方程,结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限,运用代入法求出点的纵坐标,根据,结合椭圆离心率的公式进行求解即可;
(2)由(1)可以得到椭圆的标准方程,确定椭圆的四个顶点坐标,再确定抛物线的准线方程,最后结合已知进行求解即可;
【详解】解:(1)因为椭圆的右焦点坐标为:,所以抛物线的方程为,其中.
不妨设在第一象限,因为椭圆的方程为:,
所以当时,有,因此的纵坐标分别为,;
又因为抛物线的方程为,所以当时,有,
所以的纵坐标分别为,,故,.
由得,即,解得(舍去),.
所以的离心率为.
(2)由(1)知,,故,所以的四个顶点坐标分别为,,,,的准线为.
由已知得,即.
所以的标准方程为,的标准方程为.
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求椭圆和抛物线的标准方程,考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程,考查了数学运算能力.
曲线的方程的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
(2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
(4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
(5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
(6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。
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