如图，在正方体
中，E为
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面所成角的正弦值．
答案
（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）证明出四边形
为平行四边形，可得出
，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）以点
为坐标原点，
、
、所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，
且
，
且
，
且
，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，
平面，
平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为
，则
、
、
、
，
，
，
设平面的法向量为
，由
，得
，
令
，则
，
，则
.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.
