在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF₁F₂的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁，S₂，若S₂=3S₁，求点M的坐标．

答案

（1）6；（2）-4；（3）或.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；

（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；

（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.

【详解】（1）∵椭圆的方程为

∴,

由椭圆定义可得：.

∴的周长为

（2）设，根据题意可得.

∵点在椭圆上，且在第一象限，

∴

∵准线方程为

∴

∴，当且仅当时取等号.

∴的最小值为.

（3）设，点到直线的距离为.

∵，

∴直线的方程为

∵点到直线的距离为，

∴

∴

∴①

∵②

∴联立①②解得，.

∴或.

【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.