已知椭圆C:过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为 ,
(1)求C的方程;
(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.
(1);(2)12.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程;
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置,然后联立直线方程与椭圆方程,结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为:,即.
当y=0时,解得,所以a=4,
椭圆过点M(2,3),可得,
解得b2=12.
所以C的方程:.
(2)设与直线AM平行的直线方程为:,
如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程,
可得:,
化简可得:,
所以,即m2=64,解得m=±8,
与AM距离比较远的直线方程:,
直线AM方程为:,
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,
利用平行线之间的距离公式可得:,
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值:.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.