已知双曲线Γ1:与圆Γ2:x2+y2=4+b2(b>0)交于点A(xA,yA)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x>|xA|的部分.
(1)若xA=,求b的值;
(2)当b=,Γ2与x轴交点记作点F1、F2,P是曲线Γ上一点,且在第一象限,且|PF1|=8,求∠F1PF2;
(3)过点D(0,)斜率为-的直线l与曲线Γ只有两个交点,记为M、N,用b表示,并求的取值范围.
(1)2 (2)arccos (3)(6+2,+∞)
【解析】解:(1)由xA=,点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点,联立,解得yA=,b=2;
(2)由题意可得F1,F2为曲线Γ1的两个焦点,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=8,2a=4,
所以|PF2|=8-4=4,因为b=,则c==3,
所以|F1F2|=6,
在△PF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2==
由0<∠F1PF2<π,可得∠F1PF2=arccos;
(3)设直线l:,可得原点O到直线l的距离d=,所以直线l是圆的切线,设切点为M,
所以kOM=,并设OM:y=x与圆x2+y2=4+b2联立,可得x2+=4+b2,
可得x=b,y=2,即M(b,2),
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行,
所以只有当yA>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,
由,
所以有4<,解得b2>2+2或b2<2-2(舍去),
因为为在上的投影可得,=4+b2,
所以=4+b2>6+2,
则∈(6+2,+∞).
【考点】平面向量数量积的性质及其运算;直线与双曲线的综合.
【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
【分析】(1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程,以及xA=,解方程可得b;
(2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理,计算可得所求角;
(3)设直线l:,求得O到直线l的距离,判断直线l与圆的关系:相切,可设切点为M,考虑双曲线的渐近线方程,只有当yA>2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,解不等式可得b的范围,由向量投影的定义求得,进而得到所求范围.
【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质,考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立,以及向量的数量积的几何意义,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题.
曲线的方程的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线的方程的步骤:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
求曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
(2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
(4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
(5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
(6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。
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