已知函数的值域为,记函数.
(1)求实数的值;
(2)存在使得不等式成立,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程有5个不等的实数根,求实数的取值范围.
(1)1,(2) ,(3)
【解析】
(1)利用配方法,结合二次函数的性质求得的值.
(2)将原问题转化为“存在成立”,利用换元法,结合二次函数的性质,求得的取值范围.
(3)首先判断不是方程的根. 当时,利用换元法,将原方程转化为.通过研究的单调性和值域,结合方程根的个数,求得的取值范围,由此求得的取值范围.
【详解】(1)因为,
即有时,,
即,解得..
(2)由已知可得,
由可转化为,存在成立,
令,
则问题转化为存在使不等式成立,
记,则.
(3)当,2时,,所以不是方程的根;
当时,令,
则当时,单调递减,且,
当单调递增,且,
当时,单调递减,且,
当时,单调递增,且,
故原方程有5个不等实根可转化为
即为,
所以或,
当,方程有3个不等根,
故要使得原方程有5个不等实根,只要,即,
所以的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查根据二次函数值域求参数,考查根据方程根的个数求参数的取值范围,考查存在性问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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