若函数同时满足:①对于定义域上的任意,恒有;②对于定义域上的任意,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中:① ; ②; ③; ④ ,能被称为“理想函数”的有_____(请将所有正确命题的序号都填上).
④
【分析】
根据条件知:理想函数为奇函数和单调递减函数,依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】
条件①说明“理想”函数为奇函数;②说明“理想”函数为减函数.
函数①为对勾函数,此函数是奇函数,但在整个定义域内不是减函数,故不选①;
函数②是奇函数,但在整个定义域内是增函数,故不选②;
函数③,,函数为奇函数,在定义域内为增函数,故不选③;
函数④,画出图象,可知f(x)为奇函数,且为减函数;
故答案为:④
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题,将新定义转化为奇函数和减函数是解题的关键.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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