已知函数.
(1)若,求的单调区间和值域;
(2)设函数在的最小值为,求的表达式.
(1)的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为;(2).
【分析】
(1)求出函数的对称轴,根据二次函数的开口方向和对称轴即可判断;
(2)讨论对称轴在区间的不同位置,即可根据二次函数的性质求出最小值.
【详解】
(1)可知函数的对称轴为,开口向上,
当时,单调递减;当时,单调递增,
,,
综上,的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为;
(2)对称轴为,开口向上,
当,即时,在单调递增,,
当,即时, ,
当,即时,在单调递减,,
综上,.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质,遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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