已知函数,a常数.
(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;
(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(1)证明见解析,单调增区间为;(2).
【分析】
(1)由奇函数定义证明,由复合函数的单调性得单调区间;
(2)不等式变形为,令,研究的单调性,求出它的最小值即可.
【详解】
(1)证明:当时,.
的定义域为.
当时,
.
,
∴在区间上是奇函数,
的单调增区间为,.
(2)由,
得.
令,
若使题中不等式恒成立,只需要.
由(1)知在上是增函数,所以.
所以m的取值范围是.
【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性与奇偶性,考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为求函数的最值.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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